Линейные системы дифференциальных уравнений

2)     Метод интегрируемых функций

          По этому методу решения систем ДУ из (7.1) выделяют такое уравнение (интегрируемую комбинацию), которое можно проинтегрировать и получить первый интеграл системы. В таком случае удается понизить порядок системы. Если для системы, состоящей из n уравнений, найдено n независимых первых интегралов, то тем самым найден общий интеграл этой системы и ее  интегрирование окончено.

          Для нахождения интегрируемых комбинаций иногда бывает полезно предварительно переписать данную систему в симметрической форме (7.7) и использовать свойство равных отношений: если , то  имеет место соотношение:

                                                 .                                  (7.11)

Числа  подбираются обычно таким образом, чтобы числитель в (7.11) был полным дифференциалом или же знаменатель был равен нулю, или же это отношение давало интегрируемую комбинацию.

Пример 2. Проинтегрировать систему  (1).

Решение. Найдем общий интеграл методом интегрируемых комбинаций и понижения порядка системы. Умножая почленно уравнения системы (1) соответственно на x и y и складывая полученные уравнения, получим интегрируемую комбинацию , откуда .

Заметим, что этот же первый интеграл можно получить из интегрируемой комбинации , которая получается из (1) делением уравнений системы. Пользуясь найденным первым интегралом, понизим порядок  системы (1) :  и подставляем это значение y в первое из уравнений системы (1): - имеем уравнение первого порядка, интегрируя которое, находим  или - еще один первый интеграл системы (1). Эти интегралы независимы; опуская определение, дадим критерий независимости системы функций ; для ее независимости требуется, чтобы якобиан . Вычисляя якобиан, убеждаемся в независимости первых интегралов и, таким образом, их совокупность образует общий интеграл системы (1).

Пример 3. Решить систему ,  (1).

Решение. Для нахождения интегрируемых комбинаций перепишем (1) в симметрической форме   или .

Одна из интегрируемых комбинаций: , откуда . Используя свойство пропорции (7.11), найдем вторую интегрируемую комбинацию: , откуда находим еще один первый интеграл: . Совокупность их образует общий интеграл системы (1).

Пример 4. Найти общее решение системы уравнений , .

Решение. Запишем систему в симметрической форме  и воспользуемся соотношением (7.11). Выбираем  и , получим , то есть , откуда . Аналогично, выбирая  и , приходим к равенству , откуда . Их совокупность неявно определяет общее решение.

Пример 5. Найти частное решение системы , , удовлетворяющее начальным условиям: .

Решение. Запишем данную систему в виде , . Складывая эти уравнения, получим:  или . Отсюда  - первый интеграл. Так как , то второе уравнение системы примет вид: , откуда . Таким образом, , - общий интеграл системы. Найдем общее решение : , . Полагая  в этих равенствах, найдем , то есть ; искомое частное решение: , .

Задачи для самостоятельного решения

Дифференциальные уравнения или канонические системы заменить нормальными системами дифференциальных уравнений:

247.;  248. ;   249.;

250.;     251..

Проверить, являются ли функции  и  решениями систем дифференциальных уравнений:

252.;

253.;

254.;  255..

Проверить, являются ли данные функции интегралами данных систем ДУ:

256.;

257.;

258.;   259. ;

260.;

261.a)    б) ;  ,    .

Методом исключения решить следующие системы дифференциальных уравнений:

262.   263. ;  264.;

265.;   266.

267., .     268.    269.;

270.     271.;

272..

Методом исключения найти общее решение системы дифференциальных уравнений, выделить затем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

273.    274.

Решить системы методом интегрируемых комбинаций:

275.    276.

277. ;

278.    279.  ;

280.    281. ;

282.    283. ;

284.    285. .

10.8.    Линейные системы дифференциальных уравнений

10.8.1. Введение

1^°. Однородные системы. Линейные системы (7.2) можно интегрировать общими методами, изложенными в главе 4; но для них существует  специальная  теория интегрирования. Введем определения.

Определение 1. Если , то система (7.2) называется однородной линейной системой ДУ (СОЛДУ). Иначе она называется неоднородной (СНЛДУ).

          Предполагается, что функции  и  определены и непрерывны в интервале (a,b). Тогда система (7.2) имеет единственное решение, определенное во всем интервале (a,b) и удовлетворяющее начальным условиям (7.4). Всякое решение (7.2) является частным, так что особых решений она не имеет.
          Интегрирование системы (7.2) приводит к интегрированию СОЛДУ

                                                 .                                 (8.1)

Система (8.1) всегда имеет нулевое решение .

Оно удовлетворяет нулевым начальным условиям  при ; других решений, удовлетворяющих этим условиям, нет.      Чтобы построить общее решение (8.1), достаточно знать n  линейно независимых в интервале (a,b) частных решений:

                                                                                 (8.2)

Такая система решений называется фундаментальной (ФСР).

Теорема 1. Для того, чтобы система решений (8.2) была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Вронского

                                                                                     (8.3)

был отличен от нуля хотя бы в одной точке интервала (a,b).

Теорема 2. При условии непрерывности коэффициентов  существует бесчисленное множество фундаментальных систем.

Теорема 3. Линейная комбинация решений фундаментальной системы (8.2)