Критерий устойчивости Найквиста. Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам, страница 2

Левый годограф – годограф заведомо устойчивой системы, не охватывает точки , что и требуется согласно критерию Найквиста для устойчивости замкнутой системы. Правый годограф – годограф трёхполюсной, заведомо неустойчивой системы обходит точку  три раза против часовой стрелки, что и требуется согласно критерию Найквиста для устойчивости замкнутой системы.

Замечание.

Амплитудно-фазовые характеристики систем с действительными параметрами – а только такие и встречаются на практике, симметричны относительно действительной оси. Поэтому обычно рассматривается только половина амплитудно-фазовой характеристики, соответствующая положительным частотам. При этом считаются полуобходы точки . Пересечение отрезка () при увеличении частоты сверху вниз (фаза растёт) считается за  пересечение, а снизу вверх – за  пересечение. Если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы начинается на отрезке (), то этому будет соответствовать  или  пересечение в зависимости от того, вниз или вверх идёт характеристика при возрастании частоты.

          Подсчёт числа пересечений отрезка () можно произвести по логарифмическим частотным характеристикам. Уточним, это те пересечения, которым соответствует фаза  при модуле амплитудной характеристики больше единицы.

Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам.

          Чтобы воспользоваться критерием Михайлова, надо построить годограф . Здесь  – характеристический полином замкнутой системы.

          В случае критерия Найквиста достаточно знать передаточную функцию  разомкнутой системы. При этом нет необходимости строить годограф. Для определения устойчивости по Найквисту, достаточно построить логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики разомкнутой системы.

Наиболее простое построение получается тогда, когда передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в виде

, тогда ЛАХ ,

ЛФХ .

Рисунок ниже соответствует передаточной функции

.

Здесь  и  построены как функции .

Пример.

Изображённые ниже логарифмические частотные характеристики соответствуют уже упоминавшейся выше системе с передаточной функцией (разомкнутой системы)

.

          Слева изображены амплитудная и фазовая частотные характеристики для передаточной функции , справа – для передаточной функции , в центре – для исходной передаточной функции  (как это насчитала нам программа Les, метод “Integration”).

Три полюса функции  сдвинуты влево (устойчивая система). Фазовая характеристика, соответственно, имеет 0 пересечений уровня . Три полюса функции  сдвинуты вправо (неустойчивая система). Фазовая характеристика, соответственно, имеет три полупересечения уровня  в областях, где модуль функции передачи больше единицы.

В любом случае замкнутая система устойчива.

    

Центральная картинка – расчёт в отсутствие подвижек корней, является предельной для правой картинки, ход фазы на левой картинке радикально отличен. Где истина?

Примеры из [2].

Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

.

Разомкнутая система устойчива при любых положительных k и Т. Устойчива и замкнутая система, как это видно из годографа  слева на рисунке.

При отрицательном Т разомкнутая система неустойчива – имеет плюс в правой полуплоскости. Замкнутая система устойчива при , как это видно по годографу в центре, и неустойчива при  (годограф справа).

Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид ():

.

Она имеет один полюс на мнимой оси. Следовательно, для устойчивости замкнутой системы необходимо, чтобы число пересечений амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы отрезка () действительной оси было равно  (если рассматривать годограф только для положительных частот).

Как уже упоминалось, автор [2] полагает такую систему неустойчивой.

Согласно годографу (см. рисунок ниже), при  амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не пересекает отрезок (). Зато его пересекает идущая против часовой стрелки слева полуокружность большого радиуса. Часть этой полуокружности, соответствующая положительным частотам, начинается на отрезке () и идёт вниз от него. Таким образом, имеем одно полупересечение отрезка (), и замкнутая система будет устойчивой.

Опять-таки, полагая описанную систему устойчивой, построим полуокружность большого радиуса справа. Согласно тому же критерию Найквиста, построенный таким образом годограф соответствует устойчивой замкнутой системе.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид ():

.

Она имеет один двойной полюс на мнимой оси. Следовательно, для устойчивости замкнутой системы требуется одно пересечение амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы отрезка () действительной оси в положительном диапазоне частот. На рисунке изображены годографы для  и . Годограф с  соответствует устойчивой в замкнутом состоянии системе.