Составление дифференциальных уравнений плоскопараллельного движения

Страницы работы

1 страница (Word-файл)

Содержание работы

Задание для контрольной работы по теоретической механике (динамика Д4)

Барабан радиуса R весом Р имеет заточку (как у катушки) радиуса r=0.6R. К концам намотанных на барабан нитей приложены постоянные силы F1 и F2, направления которых определяются углом b. Кроме сил на барабан действует пара с моментом М, направление которого показано на рисунке. При движении, начинающемся из состояния покоя, барабан катится без скольжения по шероховатой наклонной плоскости с углом наклона a. Пренебрегая сопротивлением качению, определить закон движения центра масс барабана хС=f(t), и наименьшее значение коэффициента трения k о плоскость, при котором возможно качение без скольжения. Барабан считать сплошным однородным цилиндром радиуса R. Данные для расчета: a=30о, b=60о, F1=0, F2=0.4P, M=0.

Решение задачи

    Барабан совершает плоскопараллельное движение под действием сил P, F1, F2,, N, Fтр и момента М. Так как направление силы трения Fтр заранее неизвестно, выбираем его произвольно. Проведем оси Oxy и составим дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения.

      (1)

 (2)

 (3)

              За положительное направление моментов в уравнении (3) принято направление против хода часовой стрелки, то есть в ту сторону, куда будет вращаться барабан при движении центра С от оси Oy (это равноценно предположению, что барабан будет катиться вверх по наклонной плоскости, то есть вращаться против хода часовой стрелки).

              1. Определение xC=f(t). Так как ясно, что в нашем случае yC=R=const и , то уравнения (1)-(3) содержат четыре неизвестных величины (). Используем дополнительно условие отсутствия проскальзывания барабана по наклонной плоскости в виде vC=wR или, что то же самое, . Теперь из уравнения (3) можно исключить угловое ускорение e, подставив в него найденной значение  и деля его на R. В результате получим:

                          (4)

Сложив теперь уравнения (1) и (4), а также учитывая, что М=0 и F1=0 ,а F2=0.4P=0.4mg, P=mg , можно получить:

 или ;

Дважды интегрируя последнее выражение получим xC= - 0.18gt2 + C1t + C2. Из начальных условий (xC=0,vC=0 при t=0) получаем, что С12=0. Окончательно получаем искомую зависимость в виде

xC= - 0.18gt2 (вопреки нашему первоначальному предположению барабан катится вниз по наклонной плоскости).

              2. Определение kmin.  Для нахождения наименьшего значения k получим из уравнения (2) значение N:

N= - F2Sin60°- F1 Sin60°+Pcos30°=0.52P;

Силу трения Fтр найдем из уравнения (4) подставив в него найденное значение  и учитывая, что М=0, F1=0, F2=0.4P, mg=P :

Знак указывает, что сила Fтр направлена на самом деле вниз (противоположно показанному на рисунке).

              Для определения минимально необходимого значения коэффициента трения k исходим из того, что при качении без проскальзывания сила трения должна удовлетворять неравенству . Подставляя сюда найденные значения Fтр и N получим . Следовательно, наименьший коэффициент трения, при котором возможно качение барабана без проскальзывания (при заданном значении силы F2) kmin=0.12.

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Задания на контрольные работы
Размер файла:
52 Kb
Скачали:
0