Рассмотрим равномерное движение по окружности. Равномерное означает, что | v| = const. Очевидно, что в этом случае имеется только поперечное ускорение a ^ ¹ 0 . Из рисунка видно, что изменение скорости D v при стремлении D t ® 0 приближается к радиальному направлению a ^ = dv / dt называется центростремительным ускорением. Найдем соотношение между центростремительным ускорением и скоростью движения по окружности. Малая дуга окружности D S = v D t . С другой стороны D S = R Dj, где R – радиус окружности. Сравнивая, получаем: Dj /D t = v/R. По определению Dj /D t – угловая скорость, итак w = Dj /D t = v/R.
Введем годограф скорости. Будем называть годографом – геометрическое место точек – концов вектора скорости. Если следить за эволюцией вектора скорости, то его конец за малое время переместится вдоль дуги окружности радиуса v на a^D t. Приравнивая a^D t = v Dj и, подставляя w, находим a^ = v w = v2 /R = w 2R. В векторной форме a ^ = -w 2r. Знак – означает, что центростремительное ускорение и радиус – вектор противоположно направлены. Введем единичный вектор нормали к траектории - n. Вектор нормали будем считать направленным к центру присоединенной окружности – окружности наилучшим образом описывающей траекторию в данной точке. При таком определении a ^ = v 2/r n. Вектор s – единичный вектор касательной к траектории. Поскольку вектор скорости направлен также по касательной к траектории то v = vs.
При неизменной по модулю скорости a = dv / dt= v ds / dt. Сравнивая с a ^ = v 2/r n находим, что ds / dt = v/r n. Если ds = v dt, то подставляя в предыдущее соотношение dt = ds/v, находим ds / ds = 1/rn. Последнее по смыслу изменение направления вектора на единицу пройденного вдоль траектории расстояния. Множитель 1/r – суть кривизна траектории. Поясним последнее утверждение. Действительно, допуская, что в малом траектория лежит в некоторой плоскости, определим изменение угла касательной к траектории при изменении пройденного расстояния на D l. (см. рис.) Назовем кривизной линии K = Dj /D l. Кривизна в окрестности заданной точки - K = lim Dj /D l. Простой пример: подсчитаем кривизну окружности. Можно предположить, что кривизна окружности одинакова в любой ее точке. Длина дуги в малом - D l = RDj , тогда K = Dj / RDj = 1/R. При R®¥ K ®0 – прямая линия. Интересно, что геометрический величина «кривизна» связан с кинематической величиной «ускорением». Напомним, что при движении по окружности a^ = v2 /R = v2 K. Так как любую траекторию в малом можно приблизить окружностью, то знание центростремительного ускорения a^ и скорости v позволяет определить кривизну.
Пример. Определим кривизну траектории тела, брошенного под углом к горизонту в верхней точке. В отсутствии иных сил, кроме силы тяжести, в верхней точке траектории v = v|| = v cosa. Центростремительное ускорение a^ = g – ускорение свободного падения. Итак, R = (v cosa)2/g. Аналогично, нетрудно найти кривизну в начальной точке траектории. Нормальной компонентой ускорения в начальной точке является проекция g на направление нормали к траектории a^ = g cosa. Подставляя в формулу, находим
R = v 2/g cosa. В предельном случае a ®p /2 кривизна в верхней точке стремится к 0, в начальной – к ¥.
Общий случай. Траекторию в малом всегда удается расположить в плоскости, которая натянута на вектора a|| , ^. Такая плоскость называется соприкасающейся. В этой плоскости (см. рис.) v = vs, где s – единичный вектор вдоль касательной к траектории | s | =1, v = v(t). Дифференцируя:
dv/dt = dv/dt s + v ds / dt = a|| + a ^, причем a ^ = v 2/r n
Итак v ds / dt = v 2/r n
Пример. Равноускоренное движение. В этом случае зависимости скорости и координаты от времени имеют вид ( считаем, что r (0) = 0 ) :
v(t)= v0 + a t
r (t) = v0 t + a t2/2,
где a = const– ускорение. Рассмотрим движение тела под действием гравитационных сил – свободное падение в однородном поле тяжести с постоянным ускорением – a = g. Зависимости вектора скорости и перемещения как функции времени при свободном падении иллюстрируются рис.. Из соотношения для перемещения следует, что вектор r (t) в течение времени от 0 до t равен сумме векторов v0 t и g t2/2, т.е. движение тела, брошенного под углом к горизонту есть суперпозиция равномерного прямолинейного движения со скоростью v0 и свободного падения в однородном поле тяжести с нулевой начальной скоростью.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.