Определение газовой постоянной смеси из азота и кислорода, ее массы и начального объема, конечных параметров смеси

задача 1:

 Смесь, состоящая из М₁=0,8 кмоль азота и М₂=0,2 кмоль кислорода с начальными параметрами р₁=1 МПа и Т₁=1000 К расширяется до давления р₂=0,57 МПа. Расширение может осуществляться по изотерме, адиабате и политропе с показателем n =0,8. Определить газовую постоянную смеси, ее массу и начальный объем, конечные параметры смеси, работу расширения и теплоту, участвующую в процессе.

Решение:

1. Определяем удельную газовую постоянную смеси газов R из формулы универсальной (молярной) газовой постоянной

М R= R₀,

где М - молярная масса смеси, R₀=8314,3 кДж/(кмоль*К) - универсальная газовая постоянная.

Молярная масса смеси М равна сумме произведений молярных масс компонентов на их молярные доли:

М=М₁*х₁+М₂*х₂

Поскольку масса смеси равна 1 кмолю, то молярные доли:

х₁=0,8; х₂=0,2

Подставляя значения молярных масс азота и кислорода, получим величину молярной массы смеси:

М=0,8*28+0,2*32=28,8 кг/кмоль

Теперь можно определить удельную газовую постоянную смеси R:

R=8314,3/28,8=288,69 Дж/(кг*К)

Массу смеси можно определить по формуле:

m=М*n, где n - количества вещества смеси в молях, для нашей задачи n=0,8+0,2=1 кмоль

m=28,8*1=28,8кг

2. Начальный объем, определим по формуле Менделеева

p₁V₁=mRT₁; V₁=mRT₁/p₁=28,8*288,69*1000/(1*10⁶)=8,314 м3

3. Изотермический процесс, Т=const

Определим конечный объем при расширении газа по уравнению изотермического процесса

p₁V₁= p₂V₂, V₂= p₁V₁/р₂=1*10⁶*8,314/(0,57*10⁶)=14,586 м3

Поскольку процесс изотермический, то Т₁=Т₂=1000 К.

Определим работу расширения L₁₂ по формуле:

L₁₂= mRTln(p₁/p₂)=28,8*288,69*1000*lg(1/0,57)=4,67 МДж.

При изотермическом расширении газа к нему подводится теплота Q₁₂ в количестве эквивалентном работе расширения L₁₂, поэтому Q₁₂=L₁₂=4,67 МДж.

Изменение энтальпии в изотермическом процессе равно нулю, т. к. T₂-T₁=0

Изменение энтропии S₁₂=Q₁₂/T:

S₁₂=4,67*10⁶/1000=4,67 кДж/К.

Изменение внутренней энергии в изотермическом процессе отсутствует, так как (U₂-U₁)=Cv(T₂-T₁); (T₂-T₁)=0, значит и (U₂-U₁)=0.

4. Адиабатный процесс pV^k=const:

Конечный объем V₂ найдем из соотношения параметров в адиабатном процессе V₂=V₁(p₁/p₂)^1/k, откуда  , k - показатель адиабаты, для двухатомных газов k=1,4, поэтому 

V₂=8.314^1/4√1/0.57=12.4 м³

Температуру Т₂ определяем по уравнению Менделеева:

Т₂= p₂V₂/(mR)=0,57*10⁶*12,42/(28.8*288.69)=850 К.

В адиабатном процессе количество подводимой или отводимой теплоты равно нулю, то есть Q₁₂=0.

Работу расширения можно определить по формуле:

L₁₂=mR(T₁-T₂)/(k-1)=28.8*288.69*(1000-850)/(1,4-1)=3,12 МДж.

Изменение внутренней энергии можно определить из уравнения первого начала термодинамики:

Q₁₂=(U₂-U₁)+L₁₂, так как Q₁₂=0, то (U₂-U₁)=-L₁₂

(U₂-U₁)=-4.67 МДж. Знак минус указывает на то, что внутренняя энергия уменьшается. Значит положительная работа в адиабатном процессе осуществляется за счет уменьшения внутренней энергии.

Изменение энтальпии  Y=mCp(T2-T1), где Cp - средняя изобарная теплоемкость смеси, которая равна сумме произведений массовых долей компонентов на их удельные теплоемкости.

 , где Cp_N2 u Cp _O2- средние удельные изобарные теплоемкости, которые находятся по таблицам при средней температуре процесса Тср=(Т₁+Т₂)/2=(1000+850)/2=925К.

W - массовые доли N2 и O2

Cp=1,1507*0,8+1,077*0,2=1,136 кДж/(кг*К).

Теперь можно определить энтальпию:

 Y=28.8*1,136*(850-1000)=-4905 кДж.

5. Политропный процесс pVn=const

Конечный объем V₂ найдем из соотношения параметров в политропном процессе V₂=V₁(p₁/p₂)^1/n=8.34(1/0.57)^1/0.8 =16.8 м3

Температуру Т₂ определяем по уравнению Менделеева:

Т₂= p₂V₂/(mR)=0,57*10⁶*16,8/(28.8*288.69)=1151,8 К.

Теплоту, участвующую в процессе можно определить по формуле:

   Q=m[Cv-R/n-1](T₂-T₁)

 где Cv  - средняя удельная объемная теплоемкость смеси, которая находится следующим образом. Известно, что k= Cp /Cv , поэтому объемная удельная теплоемкость смеси Cv=Cp / k=1,136/1,4=0, 8 кДж/(кг*К).

Подставляем значение мольной теплоемкости в формулу, получаем:

 Q=28.8[800-288.69/(0.8-1)](1151.8-1000)=9.5 МДж.

Изменение внутренней энергии, как для любого процесса, определяется по формуле:

U₂-U₁=mCv(T₂-T₁)=28.8 *800*(1151,8-1000)=3,5МДж.

Работу расширения политропного процесса вычисляем по формуле:

L₁₂ = mR(T₁-T₂)/(n-1)=28.8*288.69*(1000-1151,8)/(0,8-1)=6,3 МДж.

Изменение энтальпии  Y находим по формуле:

 Y=mCp(T₂-T₁)=28.8*1,136*(1151,8-1000)=4966kДж.

Сводная таблица результатов:

Величина Изотермический Адиабатический Политропный

V₂, м3            14,586                      12,42                 16

T₂, К                1000                         850               1151,8

L₁₂, МДж       4,67                         -4.67                 6.3

Q₁₂, МДж      4,67                              0                   9.5