Ігри двох осіб з довільною сумою, страница 6

Загалом же і рівновага Штакельберга, і рішення Штакельберга має припущенням, що ми вірно можемо змоделювати поведінку  інших (тобто перебіг гри, який буде мати місце після рішення лідера). Особливо наглядно рішення Штакельберга та рівновага Штакельберга визначаються для у випадку лише двох гравців. У цьому випадку алгоритм знаходження рішення Штакельберга для першого гравця може бути записано таким чином. 1. Розглядаємо першу стратегію лідера. Вибираємо той виграш, який є найбільшим для другого гравця. Відмічаємо відповідний виграш лідера (тобто той, який знаходиться в тій же комірчині).

2. Проводимо аналогічні дії для кожної стратегії лідера.

3. Розглядаємо множину всіх виграшів лідера, які ми відмітили, і вибираємо найбільший. Стратегія, що відповідає цьому елементу і є рішенням Штакельберга.

Оскільки в біматричній грі маємо всього 2 гравці, то всі концепції виграшів для «іншого» гравця зводять до вибору його максимального виграшу у відповідь на хід лідера, і тому рішення Штакельберга є одночасно також і рівновагою Штакельберга.

Ми можемо змінити лідера і розглянути другого гравця як лідера, знайти рівновагу Штакельберга. Інколи ці рівноваги співпадають (тобто «все рівно», хто із гравців лідер), - це може мати важливу соціальну чи економічну інтерпретацію.

? Приклад 3.8. Розглянемо наступну гру

В1

В2

В3

А1

2,3

-4,-1

-5,4

А2

-1,-3

0,-2

1,-4

А3

3,2

-2,-1

-3,1

Оберемо лідером гравця В. Як бачимо, при застосуванні стратегії В1 гравець А застосує стратегію А3, де його виграш є найбільшим. Для стратегій лідера В2 чи В3 гравець А обере одну і ту ж стратегію – А2. Далі лідер розглядає вже свої виграші, які стоять у відповідних комірчинах: (3,2), (0,-2), (1,-4) ( виграші лідера підкреслені). Вибираючи із чисел 2, -2 та -4 гравець В без сумніву, обере стратегію В1

Таким чином, РШ при лідері гравцеві В буде пара стратегій (А31) і гравці одержать відповідно виграші (3,2). Неважко побачити, що у випадку, коли лідером буде другий гравець (гравець А), то РШ буде такою ж самою (дослідіть самостійно).

          3.2.4 Рівновага в домінантних стратегіях та сильна РН

Якщо у одного з учасників гри, незалежно від дій супротивника, знайдеться  стратегія, що принесе йому максимальний в порівнянні з іншими стратегіями виграш, то така стратегія є домінантною. Доцільність її використання очевидна.

Означення 3.5. Стратегія s*i називається домінантною стратегією гравця і, якщо для будь яких s та sі справедлива нерівність Ki(s*i|s-i) ≥ Ki(si|s-i).

Означення 3.6. Якщо для кожного гравця і існує в грі домінантна стратегія s*i , то їх сукупність s*i = (s*i)iÎN називається рівновагою в домінантних стратегіях (РДС).

          Рівновага в домінантних стратегіях існує не для всіх ігор. Якщо модель гри побудовано, то при знаходженні РДС не виникає жодних труднощів.

          В деяких іграх РН і РДС вступає в конфлікт з РП. Спробою поєднати концепції РН та РП було введення поняття сильної рівноваги Неша. І хоча ця рівновага не зовсім відноситься до класу ігор, що досліджуються, ми приведемо її для складання загальної картини рівноваги у грі. Для її впровадження розглядається гра n гравців, що можуть вступати в коаліції.

Означення 3.7. Ситуація х* називається сильною рівновагою Неша, якщо для будь яких коаліцій S Í N і будь яких xS знайдеться учасник коаліції іÎS , такий , що Ki(x*) ≥ Ki(x*-S ,x-S ).

          Як слідує з визначення, сильна РН відрізняється від РН тим, що гравці не тільки поодинці не зможуть збільшити свого виграшу виходом з рівноваги, а й довільна їх коаліція не зможе, відклонившись від рівноваги, збільшити виграш всіх своїх учасників. Досить просто показати, що усі сильні РН, якщо вони існують, одночасно є РП.