Чисельне інтегрування функцій. Квадратурні формули Ньютона-Котеса. Квадратурна формула Гауса, страница 6

Для одержання заданої точності  у разі К-кратного інтеграла сітковим (різницевим) методом потрібно виконати близько  обчислень підінтегральної функції, де р – порядок точності сіткової формули.

Отже, якщо , вигідні сіткові методи, якщо ж   то вигідний метод Монте-Карло. Так, за р=2 тривимірний інтеграл обчислюють сітковими методами, а при K=5 – методом Монте-Карло.

Розглянемо інтеграл по k-вимірній області, яка розбита сіткою на комірки (Рис. 7.4). Його можна обчислити послідовним інтегруванням:

Кожний однократний інтеграл легко обчислюється на даній сітці за квадратурними формулами типу

Послідовне інтегрування в усіх напрямках приводить до кубатурних формул, які є прямим добутком одновимірних квадратурних формул:

        (7.20)

Наприклад, при k=2, якщо по кожному напрямку обрана узагальнена формула трапецій, а сітка рівномірна, то ваги кубатурної формули дорівнюють  відповідно для внутрішніх, граничних і кутових вузлів сітки. Легко показати, що для двічі неперервно диференційованих функцій ця формула має другий порядок точності, і до неї застосуємо метод Рунге-Ромберга.

Взагалі для різних напрямків можна використати квадратурні формули різних порядків точності . Тоді головний член похибки має вигляд

Бажано для всіх напрямків використовувати квадратурні формули однакового порядку точності.

Можна підібрати ваги й положення ліній сітки так, щоб одновимірна квадратурна формула була точною для многочлена максимального степеня, тобто була б формулою Гауса. Тоді для випадку k=2:

     (7.21)

де -нулі многочленів Лежандра й відповідні ваги. Ці формули розраховані на функції високої гладкості й дають для них більшу економію за кількістю вузлів у порівнянні з  простішими формулами.

Метод послідовного інтегрування можна застосовувати до області довільної форми, наприклад, із криволінійною границею. Розглянемо цей випадок при K=2. Для цього проведемо через область хорди, паралельні осі , і на них уведемо вузли, розміщені на кожній хорді так, як нам потрібно (рис. 7.5). Представимо інтеграл у вигляді

Спочатку обчислимо інтеграл по  уздовж кожної хорди за будь-якою одномірною квадратурною формулою, використовуючи введені вузли. Потім обчислимо інтеграл по ; тут вузлами будуть служити проекції хорд на вісь ординат.

При обчисленні інтеграла по  є одна особливість. Якщо область обмежена гладкою кривою, то при  довжина хорди прямує до нуля не лінійно, а як ; виходить, поблизу цієї точки . Те саме буде при . Тому інтегрувати безпосередньо  за формулами високого порядку точності не має сенсу. Доцільно виділити з  основну особливість у вигляді ваги , якій відповідають ортогональні многочлени Чебишева другого роду.

Тоді друге інтегрування виконується за формулами Гауса

   (7.22)

де , а  й -нулі й ваги многочленів Чебишева другого роду.

7.7 Кубатурна формула типу Симпсона

Нехай областю інтегрування є K-вимірний просторовий паралелепіпед  (рис.7.6), сторони якого паралельні осям координат. Кожний із проміжків  розіб'ємо навпіл точками:

, де .

Усього, таким чином, одержимо  точок сітки. Маємо

.  (7.23)

Знаходимо K-вимірний інтеграл, обчислюючи кожний внутрішній інтеграл  за квадратурною формулою Симпсона на відповідному відрізку. Проведемо повністю всі обчислення для випадку K=2:

Застосовуючи до кожного інтеграла знову формулу Симпсона, одержимо:

,

або

 (7.24)

Формулу (7.24) будемо називати кубатурною формулою Симпсона. Отже,

               (7.25)

де  – сума значень підінтегральної функції  у вершинах прямокутника ,  – сума значень  у серединах сторін прямокутника ,  – значення функції  в центрі прямокутника . Кратності цих значень позначені на рис. 7.6.

Якщо розміри просторового паралелепіпеда  великі, то для збільшення точності кубатурної формули область  

розбивають на систему паралелепіпедів, до кожного з яких застосовують кубатурну формулу Симпсона.

Знову розглянемо випадок K=2. Покладемо, що сторони прямокутника  ми розділили відповідно на  й  однакових частин; у результаті вийшла відносно велика мережа  прямокутників (на рис. 7.7 вершини цих прямокутників відзначені більшими кружками). Кожний із цих прямокутників, у свою чергу, розділимо на чотири однакові частини. Вершини цієї останньої дрібної мережі прямокутників візьмемо за вузли  кубатурної формули.