Розрахунок математичного сподівання. Розрахунок заданої ймовірності та їх відношення, розглянувши випадкові події, страница 2

Н0 : кількості аварій водогінної мережі міста підпорядковується закону Пуассона.

Перевіримо гіпотезу H0  про те, що розподіл кількості аварій водогінної мережі міста підпорядковується закону Пуассона. Для цього за критерієм  використовуємо статистику:

де  – частоти, з якими траплялися аварії;

 - теоретичні частоти.

Закон Пуассона:

 ,

де  – середнє;

k –кількість аварій.

Знайдемо середнє:

Знайдемо теоретичні частоти:

Частоти,

12

26

27

19

10

6

Підставимо нащі значення у формулу, для знаходження  та отримаемо:

Табличне значення χ2 з рівнем значущості  =0,10:

χ2=7,77.

Табличне значення χ2 з рівнем значущості  =0,05:

χ2=9,48.

Рис.2 – Розподіл аварій

Відповідь: експериментальні дані не суперечать гіпотезі Н0 з рівнем значущості =0,05 та =0,1.

ЗАДАЧА 4

Передбачається, що один з двох приладів, які визначають швидкість автомобіля, має систематичну помилку (завищення). Для перевірки цього припущення визначили швидкість 10 автомобілів, причому швидкість кожного з них фіксувалася одночасно двома приладами. У результат отримані наступні дані:

 км/годин

70

85

63

54

65

80

75

95

52

55

 км/годин

72

86

62

55

63

80

78

90

53

57

Чи дозволяють ці дані стверджувати, що другий прилад дійсно дає завищені значення швидкості? Прийняти  =0,05.

Розв’язання

Н0 : другий прилад дійсно дає завищені значення швидкості.

Перевіримо гіпотезу H0  про те, що прилад дійсно дає завищені значення швидкості.

Знайдемо вибіркові середні для величин . Позначимо їх через х та у відповідно.

Знайдемо вибіркові дисперсії:

Знайдемо середньоквадратичне відхилення:

sx=14.3;

sy=13,40.

Знайдемо довірчі інтервали для математичного сподівання  генеральної сукупності:

 – середнє;

  – точність.

  – квантиль розподілу Ст’юдента.

Ми бачимо, що другий прилад дійсно може давати завищення з надійністю γ=0,95.

Знайдемо довірчі інтервали для генеральних дисперсій  та :

 χ2 – квантиль розподілу Пірсона.

Інтервали перетинаються, тому з імовірністю 95% ми не можемо відкинути гіпотезу про рівність дисперсій, отже, другий прилад не дає завищення.

Відповіть: гіпотеза Н0 відкидається, з рівнем значущості =0,05.

ЗАДАЧА 5

На протязі 80 діб фіксувалась кількість транспортних аварій. Отримані наступні дані:

Кількість аварій, X

0

1

2

3

4

5

Частоти,

6

18

31

17

6

3

Перевірити гіпотезу про то, що розподіл кількості аварі водогінної мережі міста підпорядковується закону Пуассона. Рівень значущості прийнять =0,10 та =0,05. Результати оформіть графічно.

Розв’язання

Н0 : кількості транспортних аварій підпорядковується закону Пуассона.

Перевіримо гіпотезу H0  про те, що розподіл транспортних аварій підпорядковується закону Пуассона. Для цього за критерієм  використовуємо статистику:

де  – частоти, з якими траплялися аварії;

 - теоретичні частоти.

Закон Пуассона:

 ,

де  – середнє;

k –кількість аварій.

Знайдемо середнє:

Знайдемо теоретичні частоти:

Частоти,

10

21

22

15

18

4

Підставимо нащі значення у формулу, для знаходження  та отримаемо:

Табличне значення χ2 з рівнем значущості  =0,10:

χ2=7,77.

Табличне значення χ2 з рівнем значущості  =0,05:

χ2=9,48.

Рис.3 – Розподіл аварій

Відповідь: експериментальні дані не суперечать гіпотезі Н0 з рівнем значущості =0,05 та суперечать при =0,1.