Розрахунок густини розподілу випадкової величини Z, яка є одним з розв’язків рівняння

Міністерство освіти та науки України

Сумський державний університет

Кафедра моделювання складних систем

Обов’язкове домашнє завдання №2

з дисципліни: «Теорія ймовірності та математична статистика»

Модуль 2

Варіант 21

підготувала

студентка групи ІН-83

Шамшина С. Ю.

перевірив

професор Мазманішвілі О. С.

Суми 2010

Завдання 1

Отримана вибірка об’єму :

       7,  1,  4+m,  3,  2+k,  16+2,  15-n,  4,  1,  1, 3+k,  5, 

       5,  6,  6,  6,  1,  5+m,  3+n,  14-2m,  2,  2, 7,  7,  7,  4,  4, 

       3,  1,  2+p, 6,  8, 4,  15-3p, 1+k, 1+m,  1+n,  5,  5,  3.

В задачі потрібно:

1.  Побудувати: інтервальний варіаційний ряд розподілу; гістограму; емпіричну функцію розподілу.

2.  Знайти: вибіркове середнє, вибіркову дисперсію, середнє квадратичне відхилення, медіану і моду вибірки.

3.  Оформити результати графічно.

Номер варіанта                                      Параметри

    21                              k = 2,      m = 2,      n = 3,      p = 2,    с = 0.

Розв’язання:

Згідно з варіантом вибірка має вигляд:

7,  1,  6,  3,  4,  16,  12,  4,  1,  1,  5,  5, 

5,  6,  6,  6,  1,  7,  6,  10,  2,  2, 7,  7,  7,  4,  4, 

3,  1,  4,  6,  8,  4,  9,  3,  3,  4,  5,  5,  3.

Запишемо вибірку  наступним чином:

1,  1,  1,  1,  1,  2,  2,  3,  3,  3,  3,  3,

4,  4,  4,  4,  4,  4,  4,  5,  5,  5,  5,  5,

6,  6,  6,  6,  6,  6,  7,  7,  7,  7,  7,  8, 

9,  10,  12,  16.

1)  Інтервальний варіаційний ряд розподілу:

Інтервал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Частота	5	2	5	7	5	6	5	1	1	1	0	1	0	0	0	1

2)  Побудуємо гістограму:

Рис. 1. Гістограма

3)  Побудуємо емпіричну функцію розподілу:

Рис. 2. Емпірична функція розподілу

4)  Обчислимо вибіркове середнє, вибіркову дисперсія, середнє квадратичне відхилення, медіану і моду вибірки:

Вибіркове середнє:

.

Вибіркова дисперсія:

.

Середнє квадратичне відхилення:

.

Медіана:                                       .

Мода:                                           .

Завдання 2

Випадкова величина Х задана густиною розподілу ймовірностей:

Знайти: параметр А; функцію розподілу F(x);  математичне сподівання M[X];  дисперсію D[X];  ймовірність  Pr(π/4≤X≤π).

Розв’язання:

1.  Параметр А будемо шукати за умови, що

Звідси                                       

Отже, густина розподілу ймовірностей з урахуванням параметру А буде:

2.  Оскільки задана функція густини знайдемо функцію розподілу

.

а) Розглянемо ділянку, де

b) Розглянемо ділянку, де

с) Розглянемо ділянку де

Отже, функція розподілу матиме наступний вигляд:

3.  Математичне сподівання для неперервних випадкових величин знаходиться як:

Для нашого випадку:

Отже

4.  Знайдемо дисперсію  для неперервних випадкових величин, що визначається як:

5.  Знайдемо ймовірність події Pr(π/4≤X≤π), тобто ймовірність попадання  на проміжок [π/4,π]:

Рис. 3. Графік густини розподілу

Рис. 4. Графік функції розподілу

Завдання 3:

На площині задано два круга радіусом R кожний. Центр першого круга знаходиться в точці (R,R). Центр другого круга знаходиться в початку координат.

Знайти ймовірність того, що точка, яка 10 раз наугад кинута в перший круг, влучить 2 разу з них також і в другий.

Розв’язання:

1.  Визначимо площу спільної частини двох кругів:

Площа круга:                               .

Площа четвертої частини круга:

.

Площа квадрата, у якому знаходиться четверта частина круга:

.

Різниця між площею четвертої частини круга та квадрату:

.

Отже, площа спільної частини двох кругів:

.

2.  Визначимо ймовірність попадання наугад кинутої точки в перший круг в другий круг:

.

3.  За формулою Бернуллі підрахуємо ймовірність попадання наугад кинутої точки 10 разів в перший круг 2 рази з них в другий:

 де ; ; .

;

;

.

Відповідь: ймовірність того, що точка, яка 10 раз наугад кинута в перший круг, влучить 2 разу з них також і в другий, .

Завдання 4:

Знайти густину розподілу випадкової величині, якому відповідає характеристична функція q(t)=cos(t).

Розв’язання:

Густина розподілу випадкової величини:

;

;

;

.

Отже

.

Відповідь: густина розподілу випадкової величини

.

Завдання 5:

Система випадкових величин (X,Y) має густину розподілу ,  . Знайти густину розподілу  випадкової величини Z, яка є одним з розв’язків рівняння  Z+2(X/Y)Z–1=0.

Розв’язання:

1.  Знайдемо Z як розв’язання рівняння:

;

.

2.  Густина розподілу випадкової величини Z:

.

Відповідь: густина розподілу випадкової величини Z

.