Побудова дискретної лінійної моделі вхід-вихід за показниками входів у систему та її реакцій (Лабораторна робота № 2. Варіант 11)

Лабораторна робота №2

Сидоренко Олега

ПМ-71

Варіант №11

1. Постановка задачі

Побудувати дискретну лінійну модель вхід – вихід за показниками входів у систему  та її реакцій , що вимірювалися в однакові моменти часу  разів:

Варіант	Значення вхід-вихідних експериментів
11	U={0;0.025;0.0062;0.016;0.039;0.097;0.244;0.61; 1.52; 3.8; 9.53; 23.8; 59.6; 149.0} Y={3.2*10-6;4.8*10-6;6.9*10-6;9.8*10-6;1.3*10-5;1.9*10-5; 2.6*10-5; 3.6*10-5; 5*10-5;7*10-5;1*10-4;1.5*10-4; 2.5*10-4; 4.8*10-4}

2. Математичне обґрунтування

Нехай задано результати N експериментів з входами  та виходами .

Будемо шукати лінійну математичну модель, яка у середньоквадратичному змісті найкращим способом відтворює отримані дослідні дані. Зафіксуємо n і будемо шукати вхід-вихід модель вигляду:

          

Це означає, що необхідно знайти коефіцієнти a₁,…a_n, c₁,…c_n рівняння.

Якщо y_M(k)-вихід, який обчислюється за моделлю і відповідає входу u(k), то величину  будемо розглядати як міру відхилення дійсного закону поведінки процесу від математичної моделі.

Порядок моделі n визначає кількість попередніх моментів часу, що впливають на реакцію системи в поточний момент. Обраний порядок моделі має задовольняти умову 2n+1<=N.

Перепишемо модель вхід-вихід у вигляді:

    

і введемо позначення:

 = col(-a₁,…,-a_n, c₁,… c_n).

Задача зводиться до знаходження такого значення векторного параметра , яке мінімізує середньоквадратичну похибку:

Дана система похибок може бути представлена у матричному вигляді. У результаті одержимо СЛАР, розв’язком якої і буде шуканий вектор :

, де

.

3. Практична реалізація

Виконати дане завдання можна використовуючи різні пакетні програми. Наприклад, досить легко виконати його, використовуючи бібліотеку лінійної алгебри пакету Maple. Використання стандартних функцій цього пакету дозволяє визначити коефіцієнти, необхідні для побудови моделі вхід-вихід:

> with(linalg):

> R:=linalg[matrix](11,6,[3.2e-6,4.8e-6,6.9e-6,0,0.025,0.0062,4.8e-6,6.9e-6,9.8e-6,0.025,0.0062,0.016,6.9e-6,9.8e-6,1.3e-5,0.0062,0.016,0.039,9.8e-6,1.3e-5,1.9e-5,0.016,0.039,0.097,1.3e-5,1.9e-5,2.6e-5,0.039,0.097,0.244,1.9e-5,2.6e-5,3.6e-5,0.097,0.244,0.61,2.6e-5,3.6e-5,5e-5,0.244,0.61,1.52,3.6e-5,5e-5,7e-5,0.61,1.52,3.8,5e-5,7e-5,1e-4,1.52,3.8,9.53,7e-5,1e-4,1.5e-4,3.8,9.53,23.8,1e-4,1.5e-4,2.5e-4,9.53,23.8,59.6]);

> Y:=linalg[matrix](11,1,[9.8e-6,1.3e-5,1.9e-5,2.6e-5,3.6e-5,5e-5,7e-5,1e-4,1.5e-4,2.5e-4,4.8e-4]);

> RR:=linalg[transpose](R);

> YY:=linalg[transpose](Y);

> A:=evalm(RR &* R);

> B:=evalm(RR &* Y);

> with(LinearAlgebra):

> A1:=<<2.007893e-8|2.92205e-8|4.568702e-8|0.001325973580|0.003314179360|0.008294898340>,<2.92205e-8|4.256869e-8|6.670514e-8|0.001958888260|0.004895973580|0.01225409936>,<4.568702e-8|6.670514e-8|1.0504565e-7|0.003164535600|0.007908888260|0.01979585358>,<0.001325973580|0.001958888260|0.003164535600|108.0147854|269.9083692|675.6733598>,<0.003314179360|0.004895973580|0.007908888260|269.9083692|674.4547854|1688.388369>,<0.008294898340|0.01225409936|0.01979585358|675.6733598|1688.388369|4226.614160>>;

> AA:=MatrixInverse(A1);

> B:=<.8031766000e-7,.1176649400e-6,.1866720200e-6,.5837592800e-2,.1458853560e-1,.3651671576e>;

>

> X:=Multiply(AA,B);

> y(k+3):=2.118*y(k)+0.5554*y(k+1)-2.86*y(k+2)-0.000042*u(k)+0.0000075*u(k+1)+0.0000047*u(k+2);

4. Висновок:

У даній лабораторній роботі було побудовано лінійну дискретну детерміновану модель вхід-вихід.

Задача була зведена до розв’язання СЛАР. Її було розв’язано за допомогою стандартних функції пакету Maple. У результаті отримали модель вхід-вихід: