Оцінювання параметрів і перевірка статистичних гіпотез у випадку вибірок малого об’єму. Моделювання зростання прибутку фірми. Визначення оптимальної поліноміальної регресії, страница 23

Відомо, що у випадку нормального розподілу генеральної сукупності Х асиметрія і ексцес дорівнюють нулю, а відповідні вибіркові коефіцієнти асиметрії й ексцесу рівні

                                                      (1.9)

де μk – центральний момент вибірки порядку k, що обчислюється за формулою

                                                                (1.10)

При невеликому об’ємі вибірки Фішер рекомендує в якості оцінок асиметрії А і ексцесу Е розглядати величини

                                          (1.11)

Очевидно, при невеликих значеннях n оцінки  й  будуть помітно відрізнятися від вибіркових Ав й Ев. Виявляється, що у випадку нормального розподілу оцінки  й  мають із великим ступенем точності нормальні вибіркові розподіли, причому їх математичні сподівання дорівнюють нулю, а дисперсії визначаються виразами

 (1.12)

Таким чином, завдання полягає у відповіді на питання: чи значимо оцінки  і  відрізняються від своїх математичних сподівань, тобто від нуля?

Фішер пропонує користуватися наступним наближеним критерієм згоди:

                          .                                (1.13)

Для обчислення оцінок  і  асиметрії А и ексцесу Е скористаємося даними двох вибірок об’ємів nx = 10 і ny = 9. Допоміжні обчислення вибіркових центральних моментів наведені в табл. 1.2 і табл. 1.3.


Таблиця 1.2 Обчислення центральних моментів першої вибірки

xi

42

1,4

1,96

2,744

3,8416

43

2,4

5,76

13,824

33,1776

38

– 2,6

6,76

– 17,576

45,6976

40

– 0,6

0,36

– 0,216

0,1296

43

2,4

5,76

13,824

33,1776

38

– 2,6

6,76

– 17,576

45,6976

40

– 0,6

0,36

– 0,216

0,1296

41

0,4

0,16

0,064

0,0256

39

– 1,6

2,56

– 4,096

6,5536

42

1,4

1,96

2,744

3,8416

Σ

0

32,4

– 6,48

172,272

Середні

μ1 = 0

μ2 = 3,24

μ3 = –0,648

μ4 =17,227

Таблиця 1.3 Обчислення центральних моментів другої вибірки

yj

42

– 0,333

0,111

– 0,037

0,012

43

0,667

0,444

0,296

0,198

44

1,667

2,778

4,630

7,716

42

– 0,333

0,111

– 0,037

0,012

44

1,667

2,778

4,630

7,716

43

0,667

0,444

0,296

0,198

40

– 2,333

5,444

– 12,704

29,642

42

– 0,333

0,111

– 0,037

0,012

41

– 1,333

1,778

– 2,370

3,160

Σ

0

14,000

– 5,333

48,667

Середні

μ1 = 0

μ2 = 1,556

μ3 = –0,593

 = 5,407

Використовуючи дані табл. 1.2, для першої вибірки одержуємо

Бачимо, що критерій згоди (1.13) виконується.

Аналогічно за даними табл. 1.3 для другої вибірки знаходимо

Тут також критерій згоди (1.13) виконується.

Таким чином, дані вибірки погоджуються з нормальним розподілом генеральних сукупностей. Отже, проведені раніше процедури оцінювання математичних сподівань і дисперсій, а також перевірки статистичних гіпотез про рівність математичних сподівань і дисперсій двох генеральних сукупностей виправдані.


Завдання 2

Моделювання зростання прибутку фірми

У таблиці 2.1 наведена динаміка росту прибутку фірми за останні 9 років у відсотках до базового (нульовому) року.

Таблиця 2.1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

121,5

142,4

159,1

173,6

190,9

212,2

237,8

263,4

287,5