Основні проблеми чисельного розв’язання задач. Класифікація похибок, страница 2

Можна визначити чотири основні джерела похибок результату чисельного методу:

1)      вхідні дані;

2)      математична модель;

3)      наближений метод;

4)      округлення при розрахунках.

Проаналізуємо їх.

Похибки вхідних даних

Точні значення багатьох величин практично ніколи не можуть бути введені в процес обчислень, наприклад, ірраціональних величин , ,  та ін. У цих випадках неминучі похибки округлення.

При розв’язанні багатьох задач за вхідні беруться значення величин, отриманих з експерименту. З багатьох причин, у тому числі обмеженої точності вимірювальної апаратури і впливу різних випадкових чинників, експериментальні дані завжди мають похибки того або іншого порядку. Так, точність вимірювання температури, відстані, об'єму, ваги залежить від досконалості застосовуваних вимірювальних приладів. Похибки можуть бути  у вхідних даних, отриманих теоретично. Природно, що вони впливають на результати розв’язку задачі, однак жодним чином їх усунути не можна. Тому похибки такого типу часто називають неусувними.

Похибки математичної моделі

Необхідно зазначити, що в більшості випадків фахівцю вдається підібрати для розв’язання задачі наближений метод, що дозволяє одержати цілком задовільні за ступенем точності результати. Однак розв'язувана задача є не тим реальним завданням, з яким фахівцю доводиться мати справу, а його спрощеною математичною моделлю. Так, при розрахунку авіаційного двигуна або несучої конструкції промислової споруди неможливо ввести до розгляду їх реальну надзвичайно складну форму, врахувати наявність усіх отворів, деталей сполучення і т.п. При визначенні оптимального складу персоналу універмагу, кас попереднього продажу залізничних квитків доводиться припускати, що покупці приходять через рівні проміжки часу, час обслуговування кожного з них однаковий і таке інше.

Розв’язок реальної задачі не збігається із результатом, отриманим при розгляді її математичної моделі навіть із застосуванням точних методів розв’язку, а похибки, що виникають при цьому, можна назвати похибками математичного моделювання.

Похибки наближеного методу

У випадку, коли розв’язати задачу точно неможливо, доводиться застосовувати різні наближені методи. Результати такого підходу завчасно містять похибки, характер яких залежить від використовуваного наближеного методу (похибки методу).

При застосуванні наближених методів розв’язання задач, наприклад ітераційних, точні значення шуканих величин можуть бути отримані тільки після виконання нескінченного числа етапів обчислень, що практично здійснити неможливо. Доводиться задовольнятися певним числом етапів і відповідними наближеними результатами із так званими залишковими похибками.

Похибки заокруглень при розрахунках

  При реалізації на ЕОМ алгоритмів, що містять велику кількість операцій множення і ділення, типовими є похибки округлення. При виконанні операцій множення кількість розрядів може зрости настільки, що всі вони вже не можуть бути розміщені в елементах запам'ятовуючих пристроїв ЕОМ. Частину розрядів праворуч доводиться відкидати, округляти числа. Сам по собі процес округлення числа не обов'язково призводить до внесення в нього якої-небудь істотної похибки. Так, при обчисленні зі звичайною точністю в сучасних ЕОМ можна утримувати, наприклад, дев'ять десяткових розрядів. Природно, щопростим відкиданням в ЕОМ десятого і наступних розрядів ми вносимо в число лише дуже незначні зміни. Порівняємо дванадцятирозрядне число 1000000,00297 і округлене дев’ятирозрядне число 1000000,00. Внесена в результаті округлення похибка становить величину 0,00297. Однак у процесі виконання великої кількості арифметичних операцій похибки, послідовно накопичуючись, породжують нові. Таке нагромадження похибок округлення може призвести до дуже істотних помилок в остаточних результатах.

Похибки округлення особливо доводиться враховувати при реалізації нестійких обчислювальних процесів, у яких незначні похибки у вихідних даних або результатах проміжних обчислень можуть призвести до істотних помилок у остаточному результаті.

Приклад. Нехай необхідно обчислити величину  за формулою

,                                  (1.1)

де а = 139,27; b = 138,97. Одержимо = 0,3.