Тема: Одержання моделі з простором станів із вхід-вихід моделі
Завдання 4.5. За моделями вхід-вихід, знайденими за варіантами завдання 4.4 з таблиці 4.4 побудувати еквівалентні моделі з простором станів.
Теоретична частина
(4.19)
Для систем зі скалярними входом і виходом задана модель
,
де an+1=1.
Будемо вважати, що поліноми
а1+a2λ+...+an+1λn
і
c1+с2λ+. . .+cnλn-1
не мають спільних нулів. Дискретна стаціонарна лінійна детермінована модель з простором станів має, як відомо, вигляд
.
(4.22)
Стверджується, що така еквівалентна модель із простором станів може бути задана матрицями
A=Fb(-a1, -a2, ... , -an), В=еп і С=(c1,c2,...,cn).
Іншу модель із простором станів, що еквівалентна моделі (4.19), можна одержати за формулами
А=Fb*(-a), B=col(c1, ..., cn), C = en* (4.24)
Дійсно, у лівій частині вхід-вихід моделі, еквівалентної моделі (4.24), коефіцієнти дорівнюють коефіцієнтам полінома
ΧA=det(λI–Fb*(-a))=det(λI–Fb(-a))*=a1+a2λ+...+anλn-1+λn,
тобто збігаються з коефіцієнтами моделі (4.19).
Обчислимо коефіцієнти правої частини вхід-вихід моделі, що відповідає моделі з матрицями (4.24). Маємо
Cφj(A)B=en*φj(Fb*(-a))col(с1,...,сn)=(φj(Fb(-a)en)*col(с1,...,сn)=ej*col(с1, ..., сn) = cj (4.25)
тобто моделі (4.19) і (4.24) еквівалентні.
Хід роботи
Завдання 5.1 Дискретні моделі з простором станів, отримані в завданні 4.5, дослідити на керованість та спостережуваність
Для моделі з простором станів
будуємо матриці
A=Fb(-a1, -a2, -a3), В=е3 і С=(c1,c2,c3),
Використовуючи коефіцієнти заданої моделі вхід-вихід.
Перевірка на керованість.
Система (5.1) називається повністю k0-керованою, якщо для будь-якого x0 існують k1 = k1(x0) < ∞ і керування u[k0, k1] ,що переводить цю систему зі стану х0 у стан x=0.
Теорема . Система (5.1) є повністю k0-керованою, якщо існує k1 < ∞ і виконується умова (5.6) або еквівалентна їй умова (5.8).
Розглянемо тепер випадок стаціонарних систем. У цьому випадку Ф(k1, j) = Ak1-j, тому критерій (5.6) набуває вигляду
rg(Ak1-k0-1B,…,AB,B)=n (5.9)
x(k +1) = A(k)x(k) + B(k)u(k) + ƒ(k), (5.1)
rgV(k0, k1) = п (5.6)
≠0
(5.8)
Відповідно до цього, щоб наша система була керованою необхідно і достатньо (за критерієм Калмана) щоб
У нашому випадку 
, тому
система є керованою
Перевірка на спостережуваність.
Система (5.1), (5.2) називається повністю k0 спостережуваною на [k0,k1] якщо між її станами x(k0) і виходами y[k0,k1] існує взаємно-однозначна відповідність.
Для випадку стаціонарної системи Критерій повної спостережуваност у цьому випадку виглядає так:
rg
= n, (5.19)
Для нашого випадку маємо таку умову:
Для нашої моделі ця умова виконується (rg=3), тому система є спостережуваною.
Завдання 5.2 Перевірити на асимптотичну стійкість системи, отримані в завданні 4.5.
Перевірка на стійкість системи
Система (5.42) називається асимптотично стійкою, якщо для будь-якого x0 і будь-якого числа ε > 0 існує таке число N(x0, ε), що для розв’язку x(k; x0) рівняння (5.42), де x(0; x0) = x0, виконується x*(k,x0)x(k,x0) < ε для всіх k>N(x0,ε).
Теорема Для асимптотичної стійкості системи (5.42) необхідно і достатньо, щоб модулі всіх власних чисел матриці А були менше одиниці.
Оскільки усі власні значення по модулю менше одиниці, то наша системае є асимптотично стійкою
Протокол Maple
> with(linalg):
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected
> Q := matrix([[19.79361], [11.29237], [-17.44153], [.572943e-3], [.981240e-3], [-.470211e-3]]);
[ 19.79361 ]
[ 11.29237 ]
[ -17.44153 ]
Q := [.000572943 ]
[.000981240 ]
[-.000470211]
> A := matrix([[0, 1, 0], [0, 0, 1], [19.79361, 11.29237, -17.44153]]);
[ 0 1 0 ]
A := [ 0 0 1 ]
[19.79361 11.29237 -17.44153]
> B:=matrix([[0],[0],[1]]);
[0]
B := [0]
[1]
> C:=matrix([[.572943e-3, .981240e-3, -.470211e-3]]);
C := [.000572943 .000981240 -.000470211]
> AB:=multiply(A,B);
[ 0 ]
AB := [ 1 ]
[-17.44153]
> AAB:=multiply(A,A,B);
[ 1. ]
AAB := [ -17.44153 ]
[315.4993387]
> R:=augment(B,AB,AAB);
[0 0 1. ]
R := [0 1 -17.44153 ]
[1 -17.44153 315.4993387]
> Rang := linalg['rank'](R);
Rang := 3
> CA:=multiply(C,A);
CA := [-.009307173152 -.004736853590 .009182439263]
> CAA:=multiply(C,A,A);
CAA := [.1817536216 .09438432855 -.1648926435]
> P1:=stackmatrix(C,CA,CAA);
[ .000572943 .000981240 -.000470211 ]
P1 := [-.009307173152 -.004736853590 .009182439263]
[ .1817536216 .09438432855 -.1648926435 ]
> Rang2 := linalg['rank'](P1);
Rang2 := 3
> Vl := linalg['eigenvals'](A);
Vl := -.8029240792, 1.368973929, -18.00757985
> Char := linalg['charpoly'](A,`tools/genglobal`[0]('x'));
Char := x0^3+17.44153*x0^2-11.29237*x0-19.79361
X := solve({Char});
X := {x0 = -18.00757985}, {x0 = -.8029240792}, {x0 = 1.368973929}
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
