Обчислення власних значень і власних векторів матриці, страница 4

        Висновки

1.  Математична задача обчислення власних значень і векторів матриць набага­то складніша, ніж задача розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Із зростанням розмірності задачі виявляються явні переваги ітераційних ме­тодів типу QR-розкладу.

2.  Для лінійних моделей об'єктів і систем, заданих системою лінійних рівнянь, власні значення матриці їх коефіцієнтів збігаються з полюсами моделей. Це означає, що не потрібно знаходити передаточні функції й контролювати точність обчислення коефіцієнтів поліномів, їх чисельників і знаменникін і проводити наступне обчислення коренів полінома знаменника. Як відомо, саме через полюси визначаються перехідні процеси в об'єктах, їх смуги про­пускання, стійкість та ін., а комплексно-спряжені полюси визначають резо­нансні явища в поведінці об'єктів.

3.  Погана обумовленість лінійних систем рівнянь і жорсткість диференціальних рівнянь визначаються різницею максимального і мінімального власних зна­чень відповідних матриць (коефіцієнтів лінійних рівнянь або перших похідних нелінійних рівнянь). У математичних моделях об'єктів ця різниця визначається конкретними фізичними ефектами і процесами, наприклад ефектом підси­лення в електронних схемах, коли сигнали малої потужності на базі транзисто­ра керують сигналами значно більшої потужності на колекторі транзистора. Крім того, причиною вищезгаданих особливостей математичної моделі об'єкта може бути надмірна ідеалізація характеристик його компонентів.

4.  Задача обчислення власних значень симетричних матриць виявилася на прак­тиці краще обумовленою порівняно з аналогічною процедурою для несимет­ричних матриць, оскільки власні значення довільної матриці є більш чутли­вими до малих змін елементів матриці.

Контрольнізапитаннятазавдання

1. Для матриці з прикладу 4.2

   

скориставшись методом Крилова, вибрати довільний вектор х = [1, 0,0]^T  і довести, що система рівнянь (4.10) для коефіцієнтів характеристичного полінома буде ви-родженою.

              2 Для матриці

    

скориставшись методом Фадєєва-Левер'є, довести, що вектор коефіцієнтів характеристичного полінома b = [1, -12, -139,98]^т.

3.  Застосуйте метод QR-розкладання для матриці

                                              

і доведіть, що вектор власних значень матриці λ = [7,509, 0,745 ±і0,4928,0]^T .

4.  Нехай задано матрицю

                                              

Визначте, чи буде розв'язок системи асимптотично стійким, тобто дійсні частини комплексно-спряженнх значень чи самі дійсні власні значен­ня матриці будуть від'ємними.

5.  Безпосередньою підстановкою і застосуванням тригонометричних тотожно­стей доведіть, що дійсна симетрична матриця порядку пхп

                                              

має власні значення λ_k = а + 2bcos[kπ/(n +1)], k = 1,2,..., п, яким відповідають власні вектори х_k = {sin[kπ /(n +1)],..., sin[nkπ/(n +1)]}, k=1,2,..., п.

Покажіть, що для одного QR-розкладання повної матриці А необхідно ви­конати

4n³/3 операцій. Якщо матриця зведена до форми Хессенбсрга, яка зберігається під час виконання наступних QR-ітерацій, то складність одного QR-розкладання зменшується до 4n² операцій для несиметричних матриць і до 12n —для симетричних.