Информатика и выч. техника \ Численные методы в информатике

Неявні методи розв'язання жорстких задач, страница 6

Крім того, для ,, забезпечується задана точність. Суть вимоги  полягає в тому, що за великих забезпечується згасання «швид­ких» складових розв'язку, а за малих , якщо , зберігається необхідна точність «повільних» складових розв'язку.

До жорстко-стійких методів належать методи Гіра і Брайтона, неявні мето­ди Ракитського і неявні методи Рунге-Кутта, коли k> 2.

Наведемо умови стійкості неявних методів Рунге-Кутта:

♦  другого порядку:

                                               (10.42)

♦  третього порядку:

                                      (10.43)

♦  четвертого порядку:

                          (10.44)


Порівнюючи умови (10.42) - (10.44) з умовами стійкості явних методів тих же порядків (8.59), можна зробити висновок, що області стійкості неявних ме­тодів Рунге-Кутта можуть бути побудовані з областей стійкості явних методів (рис. 8.7) заміною на  і зміною знака нерівності. Однак при цьому змі­нюється і правило оцінки стійкості розв'язків: тепер точки всередині годографа характеризують нестійкі розв'язки, а поза годографом — стійкі. Області стійко­сті багатокрокових неявних методів змінного порядку Гіра, отримані на підста­ві виразу (10.21), наведені на рис. 10.5.

Тут, як і на рис. 10.4, точки всередині годографа характеризують нестійкі розв'язки, а поза годографом — стійкі. На рисунку видно, що методи першо­го і другого порядків (k< 2) є A-стійкими, тобто області їх абсолютної стійко­сті включають всю ліву півплощину , де  — власні значення матри­ці Якобі для правої частини розв'язуваного рівняння. Для k= 3,..., 6 вони з од­ного боку -стійкі, тому що області їх абсолютної стійкості включають не­обмежений клин , а з іншого — жорстко стійкі, оскільки області їх стійкості обмежені частиною лівої півплощини, при цьому в околі початку ко­ординат забезпечується не лише стійкість, але й точність.

Рис. 10.5. Області стійкості k-крокових методів Гіра:

а — годографи методів першого — четвертого порядків;                             б — годографи методів четвертого — шостого порядків


Жорстка стійкість характеризується максимальним кутом дотичної до кривої годографа в лівій півплощині (для ). У табл. 10.1 наведені значен­ня кута для формул Гіра різних порядків  за відносної зміни кроку обчис­лень .

Таблиця 10.1. Значення кута нахилу дотичної а для годографів методів Гіра різних порядків

Зміна

кроку q

Порядок методу k

1                2                3                 4                    5                 6                  7

1

1.01

1.02

1.05

1.1

1.2

1.5

2.0

90o           90o                86o                74o               52o                18o               0o

90o           90o                85o                72o               48o                10o               0o

90o           90o                85o                71o               45o                1o                 0o

90o           90o                83o                65o               32o                0o                 0o

90o           89o                81o                55o               1o                    0o                 0o

90o           87o                70o                25o               0o                   0o                 0o

90o           75o               25o                  0o                 0o                   0o                 0o

90o           50o               0o                    0o                 0o                   0o                 0o

Виходячи з даних табл. 10.1, можна зробити висновок, що в процесі обчис­лень часовий крок потрібно змінювати поступово (а не збільшувати або змен­шувати вдвічі, як це прийнято), якщо необхідно використовувати неявні мето­ди високих порядків. Підвищити порядок -стійких методів можна, якщо у формулу наближення ввести другу похідну, як це зроблено в методах Енрайта:

                          (10.45)

при цьому жорстка стійкість зберігається аж до методу з порядком k = 12 (рис. 10.6). Друга похідна функції у формулі (10.45) обчислюється за допомо­гою матриці Якобі для правої частини рівняння так:

Скачать файл