Методичні вказівки та контрольні завдання з теми «Основні поняття дослідження операцій» курсу «Методи оптимізації та дослідження операцій», страница 3

Необхідно скласти план роботи верстатів, щоб витрати були мінімальні.

Керовані змінні  – час, протягом якого верстат  зайнятий виготовленням продукції .

Область припустимих рішень задається сукупністю систем нерівностей

                                                                   (3.3)

                                                    (3.4)

                               .                       (3.5)

Тут (3.3) задає обмеження за часом, (3.4) - необхідне виконання плану за номенклатурою, (3.5) - природні обмеження на керовані змінні.

Функція мети

                                      .                   (3.6)

Приклад 3.3 Задача проектної оптимізації

Необхідно вибрати співвідношення між параметрами поперечного перерізу каналу для транспортування води. Вважаємо, що бічні стінки й дно складаються з бетонних плит однакової ширини . Перерізом каналу є рівнобічна трапеція (рис. 3.1).

 

                                             1

Рисунок 3.1

1 Визначення меж об'єкта.

У нашому випадку вважаємо, що об'єктом досліджуваної операції є форма й розміри поперечного перерізу каналу, повністю обумовлені шириною бетонних плит  і кутом нахилу . Будемо вважати, що використовуються стандартні плити шириною . Істотною є тільки пропускна здатність каналу, обумовлена площею поперечного перерізу.

2 Керованою змінною в цьому випадку буде  – кут нахилу бічних стінок стосовно горизонталі.

3 Область припустимих рішень визначається як

                                                                                      (3.7)

4 Функція мети

, де  – площа поперечного перерізу, а  – швидкість течії, що вважається постійною. Отже,

                                                            (3.8)

Приклад 3.4 Задача про багатоступеневу ракету

За допомогою  – ступеневої ракети із заданою стартовою масою  запускається об'єкт маси . За час роботи кожної ступені ракета одержує додаткову швидкість , де  – маса, що розганяється цією ступенню,  – маса самої ступені.

Знайти такий розподіл загальної маси ракети  між її ступенями, при якому кінцева швидкість об'єкта буде максимальною.

1 Визначення меж об'єкта вибране «ОПР» при змістовній постановці.

2 Керованими змінними будуть:

–  – маса -ї ступені, вважаючи, що стартова маса , а наприкінці розгону – ;

–  – маса об'єкта разом із пов'язаними з ним ступенями ракети.

Тоді

                         , , .                  (3.9)

3 Область припустимих рішень задається обмеженнями

                                               (3.10)

4 Функція мети буде залежати від приросту швидкості на кожному етапі. Кінцева швидкість буде визначатися як

                                   .            (3.11)

Приклад 3.5 Задача матричної гри

Задано матрицю чисел

.

Два гравці одночасно називають по одному числу: перший гравець називає номер рядка  другий-номер стовпця j=1,…, m. Число, розташоване на перетині названого рядка й стовпця в матриці  – виграш першого гравця, якщо , та виграш другого, якщо .

1 Керованими змінними є номери вибраних рядків  і стовпців .

2 Область припустимих рішень обмежується розмірами матриці

                                                                                     (3.12)

3 Функцією мети є значення вибраного елемента матриці

                                        .                           (3.13)

Природно, що розв’язання даної задачі буде відшукуватися у вигляді ймовірнісних характеристик можливості максимального виграшу.

4 Класифікація задач дослідження операцій

Математичні моделі задачі дослідження операцій мають досить різноманітний з погляду математичних методів вигляд. Для того щоб виробити однаковий підхід до їх розв’язання, необхідно їх класифікувати: