Метод простих ітерацій. Метод Ньютона. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), страница 8

Рисунок 7.1

Геометричний зміст визначеного інтегралу полягає в тому, що він чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеже-ної прямими y=0, x=a, x=b та функцією . У самому визна-ченні його фактично вже закладена основна ідея чисельного інте-грування. Адже шукана площа може показана як границя інтегральної суми (рисунок 7.1), тобто

                                  (7.1)

 де                       (7.2)

Обчислення суми , якщо не визначати границю, дає найпростіший приклад чисельного інтегрування. А сам інтеграл  можна представити як . Тут  називають квадратурною формулою, а - похибкою квадратурної формули.

Для деяких класів функцій можна записати квадратурні формули з похибкою . Такі квадратурні формули називають точними. Наприклад,  для поліномів

квадратурна формула                                        

де вибрано довільні точки ) і

є точною.

                                                                                                         Очевидно, що застосування формули (7.3) для інтегрування поліномів не має сенсу, адже він легко обчислюється безпосеред-ньо. Практичний зміст точних квадратурних формул проявляється при інтегруванні таких класів функцій , які можуть бути вдало апроксимовані поліномами на інтервалі . Замінивши ними підінтегральну функцію та скориставшись (7.3), можна сподіватись на малу похибку .

7.1 Формула прямокутників

Шукану площу замінимо сумою площ прямокутників, побудованих заміною на кожному відрізку  ) функції  відрізком прямої

, .

               y

      

O        a=x₀      x_1…       x_i      x_i+1              b=x_n                      x

Звідси формула прямокутників має вигляд

                      (7.4)

7.2 Формула трапецій

У цьому випадку підінтегральна функція  для  заміняється лінійним сплайном, для якого вузлами інтерполяції будуть точки розбиття  ). Загальна площа буде розгляда-тися як сума площ трапецій, що утворилися ланками ламаної і прямими y=0, ,  на кожному з інтервалів розбиття.                 y

      

        

                 O          x₁    …  x_i         x_i+1   …                          x

Враховуючи формулу обчислення площі трапеції, маємо

               

7.3 Формула Сімпсона

Розглянемо один із найбільш  відомих і застосовуваних методів чисельного інтегрування - метод Сімпсона. Розіб'ємо інтервал інтегрування [a,b] на парне число однакових частин із кроком h=(b-a)/(2n). На кожному частковому відрізку [ ] довжини h замінимо функцію f(x) квадратичним сплай-ном , що інтерполює f(x) у вузлах .                y

      

         

                       O           x₁    …  x_i         x_i+1   …                          x

Додаючи значення  для інтегралів на усіх часткових відріз-ках (i=0,2,...,2(n-1)), одержимо квадратурну формулу Сімпсона (або формулу парабол) :

.  (7.6)

Наведемо без доведення похибку апроксимації (обмежен-ня) квадратурної формули Сімпсона в припущенні , що функція f(x) має на відрізку[а,b] неперервні похідні до четвертого порядку :

 ,  .

Вона вказує на те , що для будь-якої неперервної на [a,b] функції f(x) наближене значення інтеграла , отримане за формулою (7.6) , прагне до точного значення при .

Зауважимо , однак , що похибка обмеження методу парабол (Сімпсона) пропорційна  у той час як для методу прямокутни-ків -  Це означає , що формула (7.6) відповідає ряду Тейлора з точністю до членів третього порядку включно ,а формула прямо-кутників відповідає цьому ряду тільки з точністю до членів першо-го порядку . Тому при інтегруванні поліному не вище третього степеня метод Сімпсона дає точні значення інтеграла , адже їхня четверта похідна дорівнює нулю на [a,b] . Методи прямокутників і трапецій ,як було зазначено раніше, дають точні значення при інтегруванні поліномів першого ступеня .

Формула Сімпсона (7.6) є лінійною комбінацією формул прямокутника і трапеції :

 де I₁, I₂ і I₃-наближені значення інтеграла  отримані відповідно за формулами прямокутників, трапецій і Сімпсона .