Дослідження на керованість, спостережуваність та асимптотичну стійкість дискретних моделей з простором станів (Лабораторна робота № 5)

Страницы работы

Содержание работы

Лабораторна робота № 5

Берко А.М.

Варіант № 7

Завдання.  Дискретні моделі з простором станів, отримані в завданні 3 дослідити на керованість, спостережуваність та асимптотичну стійкість.

Дискретна модель з простором станів:

 


 


Дослідимо систему на керованість. Вона стаціонарна тому використаємо критерій Калмана, перевіримо умову rg(B, АВ,..., Аn-1B) = n, n=4. Використаємо пакет Maple:
> restart:

with(linalg):

with(LinearAlgebra):

A:=<<0|1|0|0>,<0|0|1|0>,<0|0|0|1>,<0.5|-0.5|-2|0.75>>;

B:=<<0,0,0,1>>;

AB:=Multiply(A,B);                                                                                            A2:=Multiply(A,A);                                                                                                                              A2B:=Multiply(A2,B);A3:=Multiply(A2,A);                                                                                    A3B:=Multiply(A3,B);                                                                                    K:=augment(B,AB,A2B,A3B);

rank(K);

 


*

Формувати необхідну поведінку системи - це означає описати умови, які повинні задовольняти або процес y(k), або x(k), і знайти таке керування u(k), що завдяки рівнянням (5.1), (5.2) забезпечує виконання цих умов.

Розглянемо двоточкову граничну задачу керування. Задано стани x0, x1 і моменти часу k0 і k1. Потрібно знайти таке керування на інтервалі часу [k0, k1], що переводить подію (k0, x0) у подію (k1, x1) по траєкторії системи (5.1).

З'ясуємо, коли ця задача має Розв’язання. Для цього, користуючись формулою загального розв’язку різницевого рівняння , випишемо умову x(k1) = x1, а саме:

 . (5.3). Отже, керування u(k), що розв’язує двоточкову граничну задачу, повинно забезпечити виконання рівності

Критерій Калмана виконується, тому система повністю керована.

Система (5.1) називається k1-досяжною, якщо для будь-якого стану xl існують k0=k0(x1) > -∞ і таке керування, яке переводить систему із стану x0 = 0 у x1. Для одержання умов k1 -досяжності варто розглянути питання можливості розв'язання системи (5.4) при x0 = 0 і будь-якому х1. У цьому випадку v(k0, k1) може бути довільним вектором у Rn, тому (5.6) стає необхідною і достатньою умовою можливості розв'язання цієї задачі.

Теорема . Система (5.1) повністю k1-досяжна тоді і тільки тоді, коли існує k0 > - ∞ і виконується умова (5.6).

Для стаціонарних систем для повної досяжності необхідно і достатньо виконання умови (5.10).

Якщо матриця А - невироджена, то (5.10) також є необхідною і достатньою умовою повної керованості.

Можна показати, що якщо rgА= m, то критерієм повної досяжності є

rg(B,AB,...,An-mB) = n.                               (5.12)

Задача виявлення (оцінювання) стану х0 на основі даних u[k0, k1] і y[k0, k1] називається задачею спостереження, а виявлення стану x1 - задачею діагностики.

Розглянута система є нестаціонарною, закон її поведінки, що виражається матрицями A(k),B(k) і C(k), змінюється за часом, і розв’язання зазначених задач залежать від інтервалу спостереження [k0, k1]. Тому доцільно першу задачу називати задачею k0-спостереження, а другу k1-діагностики.

Розглянемо питання про можливість розв'язання задачі k0-спостереження.

Становлять інтерес умови на матриці A(k), B(k) і C(k), що забезпечують можливість розв'язання зазначених задач.

Спочатку розглянемо випадок, коли u[k0, k1] = 0 і ƒ(k) = 0.

Нехай х0 - невідомий стан у момент k0 і y[k0, k1] - відповідний йому вихід. Оскільки y[k0,k1] може породжуватися й іншими початковими станами х, то множину усіх таких х позначимо через Q(x0,k0,k1). Множина Q(x0,k0,k1)  є площиною в Rn. Дійсно, згідно з (5.1) і (5.2) кожен стан х*  Q(x°, k0, k1) задовольняє систему рівнянь

           C(k0)x* = y(k0),

                       C(k0+1)Ф(k0+1, k0)x* = y(k0+1),

                            ………………………………………     (5.13)

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Отчеты по лабораторным работам
Размер файла:
140 Kb
Скачали:
0