Дослідження дискретної моделі з простором станів на керованість та спостережуваність (Лабораторна робота № 4)

Страницы работы

Содержание работы

Лабораторна робота №4

Сидоренко Олега

ПМ-71

Варіант №11

Постановка задачі

Дискретнy модель з простором станів дослідити на керованість та спостережуваність.

Модель з простором станів:

де                           

Вважаючи початковим стан системи

,

розрахувати перехідні частини процесів  та   та побудувати їх графіки при заданих значеннях скалярного входу:

   1)  ,

де .

2)

Тут К1=0; К2=Nв+2 К3=40; , де  - номер варіанта.


Математичне обґрунтування

Розглянемо дискретну лінійну нестаціонарну модель системи:

x(k +1) = A(k)x(k) + B(k)u(k) + ƒ(k),            (1)

y(k) = c(k)x(k)+G(k).                            (2)

Розглянемо двоточкову граничну задачу керування. Задано стани x0, x1 і моменти часу k0 і k1. Потрібно знайти таке керування на інтервалі часу [k0, k1], що переводить подію (k0, x0) у подію (k1, x1) по траєкторії системи (1).

Користуючись формулою загального розв’язку різницевого рівняння , випишемо умову x(k1) = x1, а саме:

 . (3)

Отже, керування u(k), що розв’язує двоточкову граничну задачу, повинно забезпечити виконання рівності

   (4)

Система (1) називається повністю k0-керованою, якщо для будь-якого x0 існують k1=k1(x0)<∞ і керування u[k0, k1] ,що переводить цю систему зі стану х0 у стан x=0.

Для знаходження умов повної керованості позначимо матрицю

(Ф(k1,k0 + 1)B(k0),Ф(k1,k0+2)B(k0+1),…,Ф(k1,k1)B(k1– 1))

у лівій частині системи рівнянь (4) як V(k0, k1), стовпець у правій частині (4) через v(k0, k1) і запишемо це рівняння у вигляді

V(k0, k1)U = v(k0, k1),              (5)

де U — col(u(k0),u(k0 + 1),…,u(k1-1)).

За теоремою Кронекера-Капеллі рівняння (5) має розв'язок відносно U, якщо rg(V(k0,k1),v(k0,k1))=rgV(k0,k1). Якщо detФ(k0,k1) ≠ 0, то v(k0,k1) може бути будь-яким вектором з R, тому достатньою умовою повної k0-керованості є

rgV(k0,k1) = п.                              (6)

Матриця V(k0, k1) має розмірність n´(k1- k0)m,тому умовою на k0 для повної керованості є (k1-k0)≥n.

Розглянемо тепер випадок стаціонарних систем. У цьому випадку Ф(k1, j) = Ak1-j, тому критерій (6) набуває вигляду

rg(B, АВ,..., Аn-1B) = n.                     (7)

Умова (7) називається критерієм Калмана.

Розглянемо модель (1), (2) лінійної системи, і нехай на інтервалі [k0, k1] вимірюються вхід u[k0, k1] і вихід y[k0, k1] цієї системи. У моменти k0 і k1 ця система перебуває в деяких станах x0 і x1.

Задача виявлення (оцінювання) стану х0 на основі даних u[k0, k1] і y[k0, k1] називається задачею спостереження, а виявлення стану x1 - задачею діагностики.

Згідно з (1) і (2) кожен стан х*, поклавши G(k) = 0 s користуючись фундаментальною системою розв’язків (1), задовольняє систему рівнянь

    C(k0)x* = y(k0),

              C(k0+1)Ф(k0+1, k0)x* = y(k0+1),

                   ………………………………………     (8)

           C(k0+k1)Ф(k0+k1, k0)x* = y(k0+k1).     

Множина тих x, що задовольняють систему рівнянь (8), являє собою площину відповідної розмірності в Rn. Введемо позначення:

,

.

Тоді (8) перепишеться у вигляді

W(k0, k1)x* = Y(x0, k0, k1).                             (9)

Система (1), (2) називається повністю k0 спостережуваною на [k0,k1], якщо між її станами x(k0) і виходами y[k0,k1] існує взаємно-однозначна відповідність.

Очевидно, система (1), (2) цілком k0-спостережувана тоді і тільки тоді, коли рівняння W(k0,k1)x=0 має єдиний розв’язок . Останнє ж еквівалентно умові

rgW(k0, k1) = n.                     (10)

Таким чином, повна k0-спостережність визначається властивостями (k1–k0+1)´n-матриці W(k0,k1).

Збільшення інтервалу спостереження призводить до зростання розмірності матриці W(k0, k1). Застосувавши критерій Грама, можна звести задачу до знаходження рангу матриці розміру п´п. Для цього розглянемо n´n-матрицю R(k0, k1) =W*(k0, k1) W(k0, k1) або в докладному записі

      

Оскільки rgR(k0,k1)=rgW(k0,k1), то критерієм повного k1-спостереження на [k0, k1] є умова

rgR(k0, k1) = п.                       (11)

Розглянемо тепер випадок стаціонарних систем, тобто коли матриці A(k), B(k) і C(k) не залежать від k0.  У цьому випадку Ф(k0+ k, k0)=Ak і умова (5.15) не залежать від k. Критерій повної спостережуваності (5.15) у цьому випадку має такий вигляд:

rg = n,                          (12)


Практична реалізація

Виконати дане завдання можна використовуючи різні пакетні програми. Наприклад, досить легко виконати його, використовуючи бібліотеку лінійної алгебри пакету Maple.

> with(linalg):

> y(k+3):=-2.118*y(k)-0.554*y(k+1)+2.86*y(k+2)-0.000042*u(k)+0.000075*u(k+1)+0.0000047*u(k+2);

> A:=matrix(3,3,[0, 1, 0, 0, 0, 1, -2.118, -.554, +2.86]);

> B:=matrix(3, 1, [0, 0, 1]);

> C:=matrix(1,3,[-0.000042,0.000075,0.0000047]);

>

>

>

>

>

>

>

>

>

Визначення режимів функціонування системи:

> restart:

> with(LinearAlgebra):

with(plots):

A:=<<0| 1| 0>, <0| 0| 1>, <-2.118|-0.554|2.86>>:

B:=<0, 0, 1>:

C:=<-0.000042|0.000075|0.0000047>:

P:=<0.0015| -0.01| 0.005>:

x:=<1, 0, 0>:

N:=100:

x1:=array(0..N):

x2:=array(0..N):

x3:=array(0..N):

y:=array(0..N):

II:=array(0..N):

for i from 0 by 1 to N do

x1[i]:=Vector(x)[1]:

x2[i]:=Vector(x)[2]:

x3[i]:=Vector(x)[3]:

M:=Multiply(A,x):

U:=DotProduct(P,x):

L:=ScalarMultiply(B,U):

x:=Add(M,L):

y1:=Multiply(C,x):

y[i]:=y1:

II[i]:=i:

end do:

a:=convert(II,'list'):

b:=convert(y,'list'):

plot(a,b,style=Point);

> restart;

with(LinearAlgebra):

with(plots):

A:=<<0| 1| 0>, <0| 0| 1>, <-2.118|-0.554|2.86>>:

B:=<0, 0, 1>:

C:=<-0.000042|0.000075|0.0000047>:

P:=<0.0015| -0.01| 0.005>:

x:=<1, 0, 0>:

N:=100:

x1:=array(0..N):

x2:=array(0..N):

x3:=array(0..N):

y:=array(0..N):

II:=array(0..N):

UU:=array(0..N):

for i from 0 by 1 to N do

if (i<=14.5) then U:=1.1

elif (i>14.5) and (i<=40) then U:=1.2

else U:=1.3

end if:

x1[i]:=Vector(x)[1]:

x2[i]:=Vector(x)[2]:

x3[i]:=Vector(x)[3]:

M:=Multiply(A,x):

L:=ScalarMultiply(B,U):

x:=Add(M,L):

y1:=Multiply(C,x):

y[i]:=y1:

II[i]:=i:

UU[i]:=U:

end do:

a1:=convert(II,'list'):

b1:=convert(y,'list'):

plot(a1,b1,style=Point);

У даній лабораторній роботі було досліджено дискретну стаціонарну лінійну детерміновану модель з простором станів, що має вигляд:

В результаті було визначено, що дана модель є керованою та спостережуваною. Було побудовано графіки режимів функціонування системи ( усталеного та перехідного періодів), за якими можна зробити висновок, що дана система не є стійкою.

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Отчеты по лабораторным работам
Размер файла:
344 Kb
Скачали:
0