Аналіз даних: Навчальний посібник (Розділи: Предмет курсу. Основні задачі. Випадкові величини. Нормальний розподіл і основні розподіли, пов'язані з ним), страница 5

М(CX) = CM(X).

3 Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань

М(Х + Y) = M(X) + M(Y).

4 Математичне сподівання відхилення випадкової величини від її математичного сподівання дорівнює нулю:

М(Х – M(X)) = 0.

5 Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань:

М(Х · Y) = M(X) · M(Y).

2.2.2 Дисперсія випадкової величини

Дисперсія випадкової величини визначається як математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання:

,

 - для дискретної випадкової величини Х,

 - для неперервної випадкової величини Х.

Дисперсія звичайно розраховується за формулою

.

 для дискретної випадкової величини Х,

, для неперервної випадкової величини Х.

Дисперсія дозволяє оцінити розсіювання можливих значень випадкової величини  відносно її середнього значення.

Властивості:

1 Дисперсія постійної дорівнює нулю

D(С) = 0.

2 Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, звівши його у квадрат

D(СХ) = С²D(X).

3 Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій

D(X+Y)=D(X)+D(Y).

4 Дисперсія випадкових величин не зміниться, якщо до цієї випадкової величини додати постійну

D(X + С)= D(X).

5 Якщо випадкові величини X і Y незалежні:

D(XY) = MX² · MY² - (МХ)²·(МY)².

2.2.3 Середнє квадратичне відхилення випадкових величин

Дисперсія D(X) має розмірність квадрата випадкової величини X, що є незручним при порівнянні. Коли бажано, щоб оцінка розкиду (розсіювання) мала розмірність випадкової величини, використовують ще одну числову характеристику – середнє квадратичне відхилення.

Середнім квадратичним відхиленням або стандартним відхиленням випадкової величини X називається квадратний корінь із її дисперсії, позначають його через σ(Х) (або σХ). Таким чином, за визначенням

.

2.2.4 Мода і медіана

Модою дискретної випадкової величини X називається її значення, набуте з найбільшою ймовірністю в порівнянні з двома сусідніми значеннями, позначається через М₀ (Х). Для неперервної випадкової величини M₀ (X) - точка максимуму (локального) щільності f(x).

Якщо мода єдина, то розподіл випадкової величини називається унімодальним, у протилежному разі – полімодальним.

Медіаною М_е (Х) неперервної випадкової величини X називається таке її значення х_р, для якого

тобто однаково ймовірно, що випадкова величина X виявиться менше х_р або більше х_р .

Для дискретної випадкової величини X медіана звичайно не визначається.

x

М₀ (Х)  х_р=М_е (Х) М₀ (Х)

Рисунок 2.6 – Мода  та медіана для неперервної випадкової величини

Приклад. Дано закон розподілу дискретної випадкової величини Х.

Х	2	4	8	10
Р	0,4	0,2	0,1	0,3

Побудувати многокутник розподілу, визначити функцію розподілу, математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення. Побудувати графік функції розподілу.

Многокутник розподілу

Функція розподілу:

Х	2	4	8	10
Р	0,4	0,2	0,1	0,3
F(x)	0,4	0,6	0,7	1

Аналітичний вигляд функції розподілу:

Графік функції розподілу

Математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення обчислюються в такий спосіб:

Приклад. Задана функція розподілу неперервної випадкової величини X:

Визначити:  M(X) - математичне сподівання, D(X)  – дисперсію, ймовірність улучення значення випадкової величини в інтервал Р(0,5<X<1). Побудувати графіки функцій розподілу та щільності розподілу.

Функція щільності розподілу.

Перевіряємо свої обчислення

.

Обчислюємо M(X) - математичне сподівання

 .

Обчислюємо D(X)  – дисперсію

.

Обчислюємо ймовірність потрапляння значення випадкової величини в інтервал Р(0,5<X<1)

.