Численные методы интегрирования: Методические указания к выполнению лабораторной работы № 5, страница 4

Каноническая квадратурная формула Гаусса

Между максимальной степенью многочленов, для которых точна квадратурная формула, и порядком точности квадратурной формулы, скажем, по отношению к шагу , с которым используются значения подынтегральной функции, имеется прямая связь.

В связи с этим возникает естественная задача о нахождении среди всех квадратурных формул с узлами, вида , квадратурной формулы с таким расположением узлов  на отрезке  и с такими весами , при которых она точна для алгебраических многочленов максимальной степени. Эта степень меньше, чем , так как при любом выборе узлов  и весов , многочлен  степени  обладает тем свойством, что , но , то есть приближенное равенство не может быть выполнено.

Рассмотрим стандартный отрезок . Пусть пока   - произвольные попарно непересекающиеся узлы. Тогда, если взять веса

                                                                  

где

 

есть лагранжевы коэффициенты для интерполяционного многочлена степени , то квадратурная формула будет точна, во всяком случае, для многочленов степени .

Действительно, любой алгебраический многочлен  степени  точно восстанавливается интерполяционным многочленом  той же степени. Поэтому

 по определению многочлена Лагранжа  . А это и значит, что квадратурная формула с такими параметрами точна для многочленов  степени.

Возьмем теперь в качестве узлов  корни многочлена Лежандра , которые согласно Лемме расположены в интервале , а веса  найдем по формуле .

Покажем, что квадратурная формула с выбранными узлами и весами точна для многочленов степени  и тем самым для многочленов максимальной степени.

Пусть  - произвольный алгебраический многочлен степени . Представим его в виде , где  - многочлены  степени (частное и остаток от деления  на многочлен Лежандра )

В силу ортогональности  многочлена Лежандра к любому многочлену степени  имеем 

                                  

Поскольку - корни многочлена Лежандра, то , тогда

                                    

Поскольку квадратурная формула с заданными весами   заведомо точна для многочленов степени , то

 .

Отсюда и из равенств и приходим к доказываемому равенству

            .

                                                                                                         

Квадратурная формула  с указанными узлами и весами для многочленов степени  называется канонической квадратурной формулой Гаусса.

Можно доказать, что ее узлы  расположены симметрично относительной точки x=0, а веса  положительны и в симметричных уздах совпадают при любом . То есть для формулы Гаусса-3 : , для Гаусса-4: . Численно узлы  можно рассчитать как корни j-го многочлена Лежандра , а веса  по формуле .

Примечание: можно проверить, что при n=1 формула Гаусса совпадает с канонической формулой прямоугольников.

В силу построения, погрешность формулы Гаусса равна нулю для всех многочленов степени меньше 2n-1. То есть порядок точности Гаусса-2=3, Гаусса-3=5, а Гаусса 4=7.

Усложненная квадратурная формула Гаусса

            Разобьем отрезок  на N равных частичных отрезков , где , . На каждом частичном отрезке зададим N узлов:

                        ,                                                               

где  ­– узлы канонической формулы Гаусса . Расположение узлов на частичном отрезке геометрически подобно расположению узлов канонической формулы. В силу этого, квадратурная формула:

                                                                                                    также      точна для многочленов степени 2n-1.

            Суммируя соотношение по  получаем усложненную квадратурную формулу Гаусса: