Функция. Предел функции. Сравнение функций, страница 2

2.  Если x₀ – точка разрыва функции f(x) и существуеют конечные односторонние пределы f(x₀-0); f(x₀+0), тогда x₀-точка разрыва первого рода, а величина разности пределов называется скачком ф-ии f в т.x₀

3.  Если скачок =0 , то точка называется точкой устранимого разрыва.

4.  Если не существует хотя бы одного из односторонних пределов, то точка разрыва второго рода.

Монотонные функции: f(x), определенная на XcR называется возрастающей/убывающей на Х, если для любых двух x₁,x₂(x₁<x₂) выполняется неравенство f(x₁) <= f(x₂)/ f(x₁)>=f(x₂)

Теорема: Пусть f(x) возрастает на множестве Х, при этом α=inf X, β=supX. Причем α,β Не принадлежат Х. Тогда у функции f в т.α существует предел справа равный inf(f(x)), в т.β-слева, равный sup(f(x));

Теорема: Всякая монотонная на конечном (бесконечном) интервале функция может иметь только точки разрыва первого рода и их множества не более чем счетны.

Теорема: критерий Коши для непрерывных функций

Для того, чтобы f(х) имела в точке х₀  конечный предел, ó, чтобы для любого ε  больше нуля существовала такая окрестность N(х₀), что для любых х` и х`` из этой окрестности  выполнялось:       |f(х`)-f(x``)<ε|

Функция из XàR называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке множества X.

Замечание: если функция непрерывна на отрезке от a до b, то непрерывность в точке a означает её непрерывность справа, а в точке b – её непрерывность слева.

Замечание: говорят, что функция из XàR достигает на X своей верхней (α=sup f(x)) или нижней(β=inf f(x)) грани, если существует такой х₀, что f(х₀)=α (или β, соответственно).

Теорема Вейерштрасса (только для отрезка): всякая непрерывная на отрезке функция ограничена на нём и достигает на этом отрезке своей верхней грани (нижней грани).

Теорема Больцано-Коши: если f(х) непрерывна на [a,b], f(а)=α, f(b)=β , то для любого c>=α и c<=β  существует ξ из этого же отрезка такое, что f(ξ)=c.

То есть, непрерывная функция, принимающая на отрезке какие-либо два значения, принимает и любое значение между ними.

Следствие: если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разного знака, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка, где функция равна нулю.

Следствие: пусть f непрерывна на отрезке [a;b] причём М=sup f(х) на отрезке, а м=inf f(х) на отрезке. Тогда f принимает только значения из отрезка [м,М]. Множество всех значений функции, заданной на отрезке и непрерывной на этом отрезке, представляет собой также отрезок

Функция f, определённая на множестве Х, называется строго возрастающей (строго убывающей), если для любых х₁ и х₂ из Х выполняется неравенство:

f(х₁)<f(х₂) при х₁ меньше х₂, либо f(х₁)>f(х₂) при х₁ меньше х₂

Строго возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.

Лемма : пусть f строго возрастает (убывает) на некотором множестве Х вложенном в Р, и пусть Y – множество значений f(х). Тогда обратная функция будет однозначной, строго возрастающей (убывающей) функцией на множестве Y.

Теорема: пусть f определена, строго возрастает (убывает) и непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда обратная функция определена однозначно, строго возрастает (убывает) на отрезке [f(a);f(b)].

Функция f(х), определённая на Х, называется равномерно непрерывной на Х, если для любого ε>0 существует δ>0, такое, что для любых х₁, х₂ из Х как только |х₁-х₂| <δ , то

f(х₁)-f(х₂)<ε .

Замечание: из определения следует, что равномерно непрерывная – значит просто непрерывная, но наоборот не обязательно. Например, непрерывная на интервале функция будет равномерно непрерывна на нём только в случае замкнутости интервала.

Замечание: в отличие от определения непрерывности δ зависит только от ε , но не от х₁ и х₂.

Геометрическая интерпретация:

Выберем произвольное ε>0 и посмотрим, удастся ли разделить Х на на конечное число отрезков δ₁,δ₂,… так, чтобы каждая часть кривой, соответствующая каждому из отрезков, могла быть включена в прямоугольник с высотой ε  и основанием, равным длине отрезка. Если для любого ε>0 можно проделать эту операцию, то f(х) равномерно непрерывна.

Теорема Кантора: всякая непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна на нём.

Следствие: функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нём.

Замечание: требование о компактности множества Х строго обязательно, так как всегда можно дать примеры функций, непрерывных на множествах, не являющихся компактами, но не равномерно непрерывных на этих множествах.