Математика \ Математический анализ

Собственные интегралы. Признаки сходимости. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов, страница 2

4. Также как и в случае собственных интегралов, зависящих от параметра, все вышесказанное (включая признаки сходимости) обобщается на случай произвольного множества .

2.2. Свойства равномерно сходящихся
несобственных интегралов

Теорема 9 (Предельный переход). Пусть , , – предельная точка множества . Тогда, если

1) при ;

2) сходится равномерно на ;

то .

Замечание. может быть как замкнутым, так и открытым множеством.

Теорема 9 (Непрерывность). Пусть функция непрерывна в полуполосе , а интеграл сходится равномерно на . Тогда функция непрерывна на .

Теорема 10 (Дифференцируемость). Пусть функция и ее частная производная непрерывны в полуполосе . Пусть далее для некоторого из сегмента сходится интеграл , а интеграл сходится равномерно по на сегменте . При этих условиях функция дифференцируема на сегменте и .

Теорема 11 (Интегрируемость). Если функция непрерывна в полуполосе , а интеграл сходится равномерно на сегменте , то интеграл можно интегрировать по параметру на сегменте , причем

. (1)

Следствие. Если функция непрерывна и неотрицательна в полуполосе и интеграл является непрерывной функцией на сегменте , то справедлива формула (1).

Теорема 12 (Интегрируемость в несобственном смысле). Пусть функция неотрицательна и непрерывна при и . Пусть далее интегралы и непрерывны соответственно при и . Тогда из сходимости одного из следующих двух несобственных интегралов: и вытекает сходимость другого и равенство этих интегралов.

Теорема 13. Пусть функция удовлетворяет условиям:

1) ;

2) сходится равномерно на ;

3) сходится равномерно на ;

4) сходится интеграл ;

5) сходится интеграл.

Тогда, если сходится хотя бы один из интегралов , , то справедливо равенство , в котором всех интегралы сходятся.

3. Несобственные интегралы от неограниченных функций, зависящие от параметра

Пусть функция задана в полуоткрытом прямоугольнике . Допустим, что при любом фиксированном несобственный интеграл второго рода сходится. При этих условиях на сегменте определена функция , называемая несобственным интегралом второго рода, зависящим от параметра .

Несобственный интеграл , называется равномерно сходящимся по параметру , если он сходится и можно указать такое , зависящее только от , что выполняется неравенство , или

Замечание. Для несобственных интегралов второго рода аналогично формулируются теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости по параметру (так как несобственные интегралы второго рода с помощью преобразования переменной сводятся к зависящим от параметра несобственным интегралам первого рода.).

Интегралы Эйлера

Бета-функция (интеграл Эйлера первого рода)	Гамма-функция (интеграл Эйлера второго рода)

Сходимость (область определения)
.	.
Другие представления
(подстановка );	(подстановка ), (подстановка ).
Связь между интегралами Эйлера .
Непрерывна на всей области определения.
Симметрична, т.е..	Положительна .
	Бесконечно дифференцируема, причем ,
	при , при .
Формулы приведения
, ; , .	, .
.	.
, .	.
, .	Формула дополнения , .
.	.
, .	.
	Формула удвоения Лежандра .
	Формула Стирлинга* .

*Используется также для приближенного вычисления при больших .

Докажем некоторые из приведенных выше свойств интегралов Эйлера [2].

Бета-функция

1. Сходимость

1. При и подынтегральная функция в соотношении непрерывна, поэтому интеграл в правой части является собственным. Следовательно, функция определена для всех , .

2. Пусть выполняются одно или оба из следующих неравенств , .

В этом случае одна или обе из точек и являются особыми точками подынтегральной функции. Представим функцию в виде

Для интеграла особой точкой будет точка . На сегменте функция непрерывна и поэтому ограничена некоторой константой , тогда функция будет мажорантой для подынтегральной функции интеграла . Отсюда следует, что интеграл сходится при и любом . Аналогично доказывается, что интеграл сходится при и любом .

Объединяя случаи 1 и 2, получаем, что функция определена для .

2. Непрерывность

Для доказательства непрерывности в квадранте достаточно доказать равномерную сходимость интеграла относительно параметров и при и для любы фиксированных значений и . При справедливо неравенство

Отсюда их сходимости интеграла вытекает в силу признака Вейерштрасса равномерная сходимость интеграла . Таким образом, непрерывность функции в квадранте доказана.

3. Формулы приведения

Считая, что , интегрируем по частям функцию

Следовательно, .

Учитывая симметрию функции , получаем вторую формулу приведения .

Гамма-функция

1. Сходимость

Представим функцию в виде .

1. Так как при , а сходится при , то и интеграл сходится при (по признаку Вейерштрасса).

2. Так как при любом , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла при любом . (Из определения предела , следовательно ).

2. Непрерывность

Для доказательства непрерывности на полупрямой , достаточно установить равномерную сходимость интеграла относительно параметра при для любых фиксированных значений и , удовлетворяющих условию .