Сложение однонаправленных колебаний. Векторные диаграммы. Биения. Затухающие колебания колебательного контура. Волновое уравнение для поперечных упругих волн на непрерывной струне. Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля

2. Сложение однонаправленных колебаний. Векторные диаграммы. Биения.

В дальнейших расчётах результатов сложений колебаний нам помогут векторные диаграммы.

Векторная диаграмма — графическое изображение меняющихся по закону синуса (косинуса) величин и соотношений между ними при помощи направленных отрезков - векторов. Гармоническое колебание может быть представлено графически в виде проекции на некоторую ось (обычно берут ось координат Оx) вектора, вращающегося с постоянной угловой скоростью ω. Длина вектора соответствует амплитуде, угол поворота относительно оси (Ox) - фазе.

Сумма (или разность) двух и более колебаний на векторной диаграмме представлена при этом геометрической суммой (или разностью) векторов этих колебаний. Мгновенное значение искомой величины определяется при этом проекцией вектора суммы на ось Оx, амплитуда - длиной этого вектора, а фаза - углом его поворота относительно Ox.

1)  Сложение однонаправленных колебаний с одинаковыми частотами:

Пусть система принимает участие в двух однонаправленных колебаниях с одной .

Сколько бы гармонических колебаний ни складывалось, получаем гармоническое колебание с такой же частотой, но у него своя амплитуда, которая зависит от амплитуды складываемых колебаний и от начальных фаз.

Важные частные случаи:

1.   - колебания происходят в одной фазе

2.   - колебания называются противофазными

2)  Сложение однонаправленных колебаний с разными частотами. Биения.

Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гар­монических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В ре­зультате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющей­ся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Результирующее колебание  можно интерпретировать как быстрое колебание с медленно изменяющейся амплитудой.

8. Затухающие колебания колебательного контура. Дифференциальное уравнение и его решение. Характеристики колебаний. Энергия колебаний. Добротность.

В реальных осцилляторах есть трение, трение трансформирует энергию колебаний во внутреннюю энергию. При достаточно большом трении колебаний может и не быть.

Дифференциальное уравнение осциллятора с трением

1.  Колебательный контур

; ;

В общем случае дифференциальное уравнение осциллятора с трением:

(1) , где - квадрат собственной частоты, - коэффициент затухания.

дифференциальное уравнение осциллятора с трением описывает собственную динамику осциллятора, у которого трение линейно зависит от скорости.

Режимы осциллятора с трением

Характер движения осциллятора с трением. Если трение очень маленькое, то колебания должны быть, но их амплитуда должна падать. Если трение велико, то колебаний может не быть.

Решение (1) будем искать в виде x=Ae^gt.

Ae^gt (g²+2bg+)=0

g²+2bg+=0

Возможны три ситуации, связанные с коэффициентами  и , и они соответствуют трем возможным режимам осциллятора с трением:

1.  Апериодический режим  >

g₁<0, g₂<0

x(t)= A₁e^g1t+ A₂e^g2t= A₁e^()t+ A₂e^()t

Апериодический режим возникает при большом трении в системе.

α и β определяются самой системой, а A₁ и A₂ – начальными условиями – смещением и его первой производной по времени.

2.  Режим критического затухания.

b=

g₁=g₂=-b

x(t)=(A+Bt)e^-bt 

Вид картины такой же.

В режиме критического затухания система наиболее быстро возвращается в положение равновесия среди апериодических режимов.

Коэффициент сопротивления r называется критическим коэффициентом затухания, b – коэффициент критического затухания, R- критическое сопротивление контура.

Найдем выражение для критического сопротивления:

b_кр= ; ;

3.  Режим затухающих колебаний.

b< ; g_1,2=, где

x(t)=Re((t))= A₁e^-btcos(wt+j₀₁)+ A₂e^-btcos(wt+j₀₂)= A₀e^-btcos(wt+j₀)

A₀ – зависит от энергии.

j₀ – зависит от начального состояния системы.

Затухающие колебания и их характеристики

b<

x(t)= A₀e^-btcos(wt+j₀)

 

Положим j₀=0.

Колебания не периодичны (т.к. max не повторяются), но они характеризуются периодом затухающих колебаний.

T=, - зависит не только от возвращающего воздействия, но и от трения.

- постоянная времени затухания(время релаксации) – за это время амплитуда уменьшается ровно в e раз. ; A=A₀e^-1; =1; b=

d - декремент затухания, характеризует падение амплитуды – во сколько раз амплитуда уменьшится за период

d=

l - логарифмический декремент затухания.