Решение краевых задач конечно-разностными методами (Лабораторная работа № 2)

Страницы работы

10 страниц (Word-файл)

Содержание работы

Министерство Образования и Науки РФ

Новосибирский Государственный Технический Университет

Кафедра прикладной математики и информатики

NGTU

Лабораторная работа №2 по дисциплине

 «Дифференциальные уравнения» на тему:

Решение краевых задач конечно-разностными методами

Факультет:           ПМИ
Группа:                 ПМ-72
Студенты:             Щеголев В. С.

                              Чернов А. К.

Преподаватели:    Иткина Н.Б.

                              Баландин М.Ю.   

Новосибирск

 2009г.

1)  Цель работы:

Для краевой задачи, описывающей процесс стационарной одномерной теплопроводности, построить консервативную разностную схему, оценить порядок аппроксимации, устойчивость и сходимость.

2) Задание:

Построить консервативную схему для линейного уравнения теплопроводности:

  с коэффициентами ,  с  краевыми

условиями третьего  и второго рода.

3)Построение схемы:

Пусть дано стационарное одномерное уравнение теплопроводности:

с третьими краевыми условиями:

Тогда консервативная разностная схема, т.е. схема, для которой выполняются разностные аналоги физических законов сохранения, имеет вид:

Получим  консервативную схему вида   где краевые условия учитываются следующим образом:

Проинтегрируем исходное уравнение теплопроводности на участке от 0 до h/2 и получим

                                    

Приближая оставшиеся интегралы по формуле трапеций, и из вида третьих краевых условий   на левом конце   получаем выражение:

,

Поскольку интеграл мы рассматривали от 0 до h/2, то для точки h/2 центральная разность будет иметь вид:

                                     ,

Тогда уравнение примет вид:   

,

Группируя члены уравнения при , получим первое уравнение системы

.

Аналогично рассмотрим интеграл на участке от  до 1 и получим:

                        ,

                     

Приближая оставшиеся интегралы по формуле трапеций, и из вида вторых краевых условий   на правом конце     получаем выражение:

,

Поскольку интеграл мы рассматривали от  до 1, то для точки центральная разность будет иметь вид:

                                     ,

Тогда уравнение примет вид:   

,

Группируя члены уравнения при , получим последнее уравнение системы

.

Второе уравнение системы получаем:

,

Далее группируя члены при  получим:

,

Помножим все на h2:

.

В итоге получаем следующую систему уравнений с учетом

Отсюда получаем трехдиагональную матрицу вида

и вектор правой части:

Для решения полученной СЛАУ будем использовать метод прогонки. Полученную матрицу будем хранить в диагональном формате.

4)Оценка порядка аппроксимации.

Дано уравнение:

Выбираем трехточечный шаблон . Тогда разностная схема примет вид: , который можно переписать  или иначе . Теперь оценим погрешность аппроксимации:

При выполнении следующих условий

схема будет иметь второй порядок аппроксимации.

Тестовые задачи.

1.  Аналитическое решение уравнения (2.3): .

Краевые условия:

2. Аналитическое решение уравнения (2.3): . Краевые условия:

                                              

3. Аналитическое решение уравнения (2.3): . Краевые условия:

                                          

Первые краевые условия:

 Тест 1:

x

Y(h=0.1)

Y(h=h/2)

Y(h=h/4)

Y*

0

0

0

0

0

0.1

 9.99999999999999e-003

 9.99999999999996e-003

 9.99999999999959e-003

 1.00000000000000e-002

0.2

 4.00000000000000e-002

 3.99999999999999e-002

 3.99999999999992e-002

 4.00000000000000e-002

0.3

 9.00000000000000e-002

 8.99999999999999e-002

 8.99999999999988e-002

 9.00000000000000e-002

0.4

 1.60000000000000e-001

 1.60000000000000e-001

 1.59999999999998e-001

 1.60000000000000e-001

0.5

 2.50000000000000e-001

 2.50000000000000e-001

 2.49999999999998e-001

 2.50000000000000e-001

0.6

 3.60000000000000e-001

 3.60000000000000e-001

 3.59999999999998e-001

 3.60000000000000e-001

0.7

 4.90000000000000e-001

 4.90000000000000e-001

 4.89999999999998e-001

 4.90000000000000e-001

0.8

 6.40000000000000e-001

 6.40000000000000e-001

 6.39999999999999e-001

 6.40000000000000e-001

0.9

 8.10000000000000e-001

 8.10000000000000e-001

 8.09999999999999e-001

 8.10000000000000e-001

1

1

1

1

1

Тест 2:

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Отчеты по лабораторным работам
Размер файла:
240 Kb
Скачали:
0