Поля. Теорема Лапласа. Элементарные преобразования. Ортонормирванный базис и его свойства, страница 2

Система векторов называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов линейно выражается через прочие векторы системы и

линейно независимой иначе.

Если некоторая подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Если есть нулевой вектор, то система лин. зависима.

Для того, чтобы L₁=L₂ ó чтобы системы были экв.

Элементарные преобразования:

1.умножение любого вектора на ненулевое число

2.прибавление к вектору лин. комбинации других

3.перестановка двух векторов

4.исключение вектора, явл. Лин. комбинацией других

5.присоединение вектора-линейной комбинации др.

dim(L₁&L₂)+dim(L₁+L₂)=dimL₁+dimL₂

Если для каждого вектора x из S=L₁+L₂ разложение x=x₁+x₂ единственно, то сумма L₁+L₂ – прямая

Для того, чтобы сумма была прямая ó объединение базисов подпространств составляло базис всего пространства.

Пространства, устроенные одинаково по отношению к операциям сложения векторов и умножения вектора на число будем считать изоморфными.

Два линейных пространства, заданные над одним и тем же полем называются изоморфными, если м/ду векторами x из L и x' из L' можно установить взаимно однозначное соответствие. Такое, что при xóx’, yóy’

1.(x+y)ó(x+y)’        (x+y)’=x’+y’

2. λx ó λx’               (λx)’=λx’

Свойства:

1.При изоморфизме θ переходит  в θ’

2.Лин. независимая система переходит в лин. независимую систему.

Теорема: Все конечномерные пространства, заданные над одним и тем же полем изоморфны ó они имеют одинаковую размерность.

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Для любой прямоугольной матрицы ранги её систем векторов-строк и векторов-столбцов совпадают и равны рангу матрицы.

Для того, чтобы однородная система имела ненулевое решение, ó ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных.

Любой базис пространства решение однородной системы называется ФСР.

Теорема Кронекера-Капелли: неоднородная СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен рангу ее расширенной матрицы.

Доказательство: Необходимость: Пусть система совместна, тогда правая часть b – есть линейная комбинация столбцов матрицы A (rgA = rgA₁); Достаточность: Если rgA=rgA₁, то r базисных столбцов A будут базисными и для A_1. Правая часть b представляет собой некоторую линейную комбинацию базисных столбцов и представляет собой линейную комбинацию всех столбцов основной матрицы, т.е система совместна.

Евкл.пр-во-пространство, для которого определено скал.произведение

Общее решение неоднородной СЛАУ представимо в виде суммы общего решения соотв. однородной системы и какого-либо частного решения неоднор. системы.

Аксиомы скал. произведения:

Евклидово	Унитарное
(x,y)=(y,x)	(x,y)=\(y,x)\ (сопряженное)
(λx,y)= λ(x,y)	(λx,y)= λ(x,y)
(x+y,z)=(x,z)+(y,z)	(x+y,z)=(x,z)+(y,z)
(x,x)>0 x!=θ (x,x)=0 x=θ	(x,x)>0 x!=θ (x,x)=0 x=θ
(x, λy)= λ(x,y)	(x, λy)= \λ\(x,y)
(x,y+z)=(x,y)+(x,z)	(x,y+z)=(x,y)+(x,z)

Нер-во К-Бун: (x,y)²<=(x,x)(y,y) ----- |(x,y)|²<=(x,x)(y,y)

Оно обращается в равенство ó x,y – коллинеарны

Линейное пространство L называется нормированным, если каждому xÎL ставится в соответствие вещественное число ||x||, которое называется нормой или длиной вектора x

Аксиомы нормы:

1.||x||>0, x!=θ (||x||=0, x=θ)

2.|| λx||=|λ| ||x||

3.Нер-во Минковского: ||x+y||<=||x||+||y||

cos(φ)=(x,y)/(||x||*||y||)

Ортогонализация:α_i,j =-(f_i,g_j)/(g_j,g_j)

Вопрос 20.Ортонормирванный базис и его свойства.Def: Два ненулевых вектора х и у  называются ортогональными, если угол между ними равен П/2, те.е если их скалярное произведение равно 0.Теорема Пифагора: Если х и у Î E ортогональны, то квадрат норм ||x+y||²= ||x||²+||y||².Def: В Евклидовом пространстве особую роль играют ортонормированные базисы. Будем говорить, что e₁,e₂,…,e_n Î E образуют ортонормированный базис, если эти элементы попарно ортогональны и норма каждого из векторов равна 1.

- дельта Кронекера. Теорема 3: во всяком n-мерном Евклидовом пространстве Е $ ортонормированный базис.

Свойства ортонормированного базиса: Пусть e1,e2,…,en – произвольный ортонормированный базис пространства Е, а х и у – два произвольных вектора этого пространства. Найдем выражение х и у через координаты х и у в базисе e1…en

Два множества F и G векторов евклидова пространства Е называются  ортогональными, если каждый вектор из F ортогонален каждому вектору из G.

Комплексное линейное пространство U называется унитарным, если каждой паре векторов x,y Î U поставлены в соответствие комплексное число (x,y) Î C, называемое скалярным произведением.

Свойства ортонорм. базиса:

1

2

Ортогональная сумма ненул. подпространств всегда прямая.

Изоморфизм ЕП=Изоморфизм ЛП+ сохраняет величину скалярного произведения