Поверхности второго порядка. Канонические уравнения поверхностей второго порядка

      б) ;

      в) ;

      г) ;

      д) ;

      е) .

§ 8.5. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

      Геометрическое место точек 3 – мерного пространства, координаты которых в некоторой прямоугольной системе координат  удовлетворяют уравнению

                                         (8.5.1)

где хотя бы один из коэффициентов  не равен нулю, называется поверхностью второго порядка.

      Для любой поверхности второго порядка существует прямоугольная система координат , в которой уравнение этой поверхности имеет один из следующих 17 видов:

      1) эллипсоид (рис. 8.4);

      2) мнимый эллипсоид ;

      3) однополостный гиперболоид (рис. 8.5);

      4) двуполостный гиперболоид (рис. 8.6);

      5) конус (рис. 8.7);

      6) мнимый конус ;

      7) эллиптический параболоид (рис. 8.8);

      8) гиперболический параболоид (рис. 8.9);

      9) эллиптический цилиндр (рис. 8.10);

      10) мнимый эллиптический цилиндр ;

      11) гиперболический цилиндр (рис. 8.11);

      12) параболический цилиндр (рис. 8.12);

      13) пара пересекающихся плоскостей ;

      14) пара мнимых пересекающихся плоскостей ;

      15) пара параллельных плоскостей ;

      16) пара мнимых параллельных плоскостей ;

      17) пара совпадающих плоскостей .

      Уравнения 1) – 17) называются каноническими уравнениями поверхностей второго порядка.

 

                              Рис. 8.4                                                    Рис. 8.5

                       Рис. 8.6                                                       Рис. 8.7

 

 

                              Рис. 8.8                                                 Рис. 8.10 

                                                          Рис. 8.9

 

                   Рис. 8.11                                                          Рис. 8.12

      При преобразовании уравнения поверхности второго порядка (8.5.1) можно, как и в случае кривой второго порядка, использовать инварианты. Инвариантами поверхностей второго порядка являются

          ,

          ,

          ,

          .

Их значения не меняются при повороте и параллельном переносе осей координат.

      Пример 1. Поверхность задана уравнением в прямоугольной системе координат

      .

Найдите каноническую систему координат и каноническое уравнение этой поверхности. Определите тип поверхности.

      Решение. Найдем сначала ортогональное преобразование переменных, приводящее матрицу А квадратичной формы  к диагональному виду.

      .

      Ее характеристический многочлен

.

Следовательно, матрица А имеет собственные значения   .

      Для нахождения собственных векторов матрицы А решаем однородные системы линейных уравнений с матрицами  соответственно и выделяем по одному ненулевому решению:

, 

                    ;

,     

              ;

,    

                    .

Векторы  ортогональны друг другу как собственные векторы симметричной матрицы, соответствующие различным собственным значениям. Нормируя их, получаем

      ,

      ,

     

и матрицу перехода Р к новому ортонормированному базису

      .

      Проверим правильность нахождения матрицы Р:

Матрица Р найдена верно.

      Применяя к исходному уравнению ортогональное преобразование координат

      ,

получаем новое уравнение поверхности в прямоугольной системе координат со старым центром О и направляющими векторами :

     

     

     

        

         .

      Выполняя параллельный перенос системы координат  по формулам

     

приходим к уравнению

     

или

      .

Это – каноническое уравнение двуполостного гиперболоида в прямоугольной системе координат .

      Вычислим координаты начала  канонической системы координат в старой прямоугольной системе координат. Поскольку

      ,

      .

      Пример 2. Исследуйте поверхность второго порядка, заданную в прямоугольной системе координат уравнением

      .

      Решение. Начнем с приведения квадратичной формы  к каноническому виду. Матрицей этой квадратичной формы является матрица