Метрические пространства. Евклидово пространство. Теоремы, страница 2

1)  Пусть G равно пересечению всех Ga и пусть X принадлежит G, тогда x принадлежит Ga для любого a. Т.к. множество Ga открытое, то x – внутренняя точка множества G, следовательно, G – открытое множество.

2)  Из пункта 1 получим доказательство второго утверждения следующим образом: дополнение к пересечению всех дополнений к Fa равно объединению всех Fa, т.к. дополнение к Fa открыто. Следовательно, дополнение к пересечению всех Fa открыто, и как следствие – пересечение всех Fa замкнуто.

3)  Пусть H равно пересечению конечного числа G_i. Для каждого x, принадлежащего H, существует окрестность Ni_ri, такая что Ni является подмножеством G_i. Выберем из всех радиусов r_i минимальный (min (r_i) = r) – r. Пусть Nr – окрестность точки x радиуса r. Получаем, что Nr является подмножеством G_i, i =1, 2, … n. Значит, N является подмножеством H, и как следствие, H открыто.

4)  Из пункта 3 получим доказательство четвертого утверждения следующим образом: рассмотрим дополнение к объединению конечного числа F_i, которое равно пересечению конечного числа дополнений к F_i. Т.к. последнее множество открыто, то и дополнение к объединению конченого числа F_i тоже открыто, а это значит, что объединение конечного числа F_i замкнуто.

Открытым покрытием множества X в метрическом пространстве Rⁿ называется семейство множеств {Ga}, где любое Ga является подмножеством X и при этом X является подмножеством объединения всех Ga.

Подмножество X метрического пространства Rⁿ (X является подмножеством Rⁿ) называется компактом или компактным подмножеством, если любому открытому покрытию множества X принадлежит конечное подпокрытие.

Метрические пространства.

Евклидово пространство – это пространство, элементы которого выглядят Rⁿ: x = (x₁, x₂, …, x_n).

Множество X, элементы которого называются точками, есть метрическое пространство, если любым двум точкам p и q можно поставить в соответствие действительное число r(p, q), которое  называется расстоянием от p до q, и это число удовлетворяет трем аксиомам:

4)  r(p, q) > 0, если q ¹ p и r(p, q) = 0, если q = p;

5)  r(p, q) = r(q, p) – симметричность;

6)  r(p, q) £ r(p, r) + r(r, q), "r Î X.

R¹: r(x, y) = |x – y| - метрика R¹.

Пусть точка x принадлежит метрическому пространству X, а R > 0. Тогда открытым/замкнутым шаром B с центром в точке x и радиусом R называют множество всех y Î X: r(x, y) < r (открытый шар) / r(x, y) £ r (закрытый шар).

Множество Y являющееся подмножеством метрического пространства X называют выпуклым, если для любых y₁, y₂, принадлежащих Y выполняется ay₁ + (1 - a)y₂ ÎY, 0 < a < 1.

Окрестностью точки p из метрического пространства X называется такое множество точек q, для которых r(p, q) < R, где R – радиус окрестности точки p.

Точка p называется предельной точкой множества X, если любая окрестность точки p содержит точку q ¹ p, q Î X.

Если точка p принадлежит  множеству X, но не является предельной точкой этого множества, тогда точку p называют изолированной точкой множества X.

Множество X замкнуто, если оно содержит все свои предельные точки.

Точка p, принадлежащая множеству X, называется граничной точкой, если любая окрестность этой точки p содержит как точки из множества X, так и точки из дополнения X. В случае, если множество содержит свою границу, оно называется замкнутым.

Все метрические пространства Rⁿ и Æ одновременно открытые и закрытые.

Точка p называется внутренней точкой множества X, если эта точка имеет окрестность N такую, что N является подмножеством X, т.е. p входит во множество X вместе со своим шаром.