Линейные операторы и матрицы. Операции над матрицами и операторами. Эквивалентные и подобные матрицы

Линейные операторы и матрицы

Пусть дан линейный оператор А, действующий из n-мерного пространства Х в m-мерное пространство Y. Выберем некоторый базис е, е,…,е в Х.

Тогда xX

x =, A·x =.

Другими словами, линейный оператор A:XY полностью определяется совокупностью образов Ae, Ae,…, Ae базисных векторов  е, е,…,е и

y = Ax, yL(Ae, Ae,…, Ae).

Зафиксируем в пространстве Y базис g , g,…,g. Тогда

=a g+…+a g, j =1, 2,…, n

Коэффициенты a определяют матрицу A из m строк и n столбцов, которая   называется  матрицей оператора A в базисах е, е,…,е и  g , g,…,g:

A=.

Столбцами матрицы оператора служат координаты векторов  Ae, Ae,…, Ae в базисе g , g,…,g. Для того, чтобы определить элемент  a матрицы оператора A, нужно найти образ  Ae и взять его координату в базисе

g , g,…,g, т.е.

a=.

Рассмотрим произвольный вектор xX  и его образ y=Ax:

                                        x=, y =.                                                   (1)                            

Тогда

y== = .

Сравнивая правую часть этого равенства с разложением (1) для вектора y, имеем

Обозначив , , получим

                                                                                                                         (2)

Таким образом, всякий линейный оператор при фиксированных базисах в пространствах X и Y порождает соотношение (2), связывающее координаты образа и прообраза.

Для того чтобы по  координатам прообраза определить координаты образа, достаточно вычислить левую часть этого соотношения.

          Для определения координат прообраза по известным координатам вектора  приходится решать СЛАУ (2) относительно вектора . Матрица этой СЛАУ совпадает с матрицей оператора.

Докажем, что при фиксированных базисах пространств между линейными операторами и прямоугольными матрицами существует взаимнооднозначное соответствие.

Мы уже показали, что каждый оператор А при фиксированных базисах определяет некоторую матрицу  А. Возьмём теперь произвольную матрицу  А размером mn. При фиксированных базисах в пространствах X и Y соотношение (2) ставит в соответствие каждому вектору xX некоторый вектор yY.  Ясно, что это соответствие – линейный оператор:

.

Построим матрицу оператора А в базисах  е,е,…,е, g,g,…,g:

 ,

т.е. построенная матрица совпадает с А.

Операции над матрицами и операторами

Поскольку всякий линейный оператор при фиксированных базисах пространств однозначно определяется своей матрицей, введенные ранее операции над операторами соответствуют вполне определенным операциям над матрицами.

Условимся обозначать операторы и их матрицы одними и теми же буквами, без каких-либо индексов, относящихся к базисам.

Пусть A:XY, B:XY и е, е,…,е- базис X, g , g,…,g- базис Y.

Равные операторы имеют одну и ту же матрицу.

Доказательство:

Действительно,

a=== b,  i =, j =.

Рассмотрим оператор С =А+В:  

                           .                                                                                                                  

При сложении операторов матрицы операторов складываются.

          Аналогичное преобразование матриц операторов происходит при умножении линейного оператора на число:

.

 Таким образом, пространство линейных операторов w изоморфно пространству прямоугольных матриц размером  mn с элементами из F.                

 Следовательно, размерности этих пространств равны. Множество матриц порядка mn представляет собой линейное пространство размерности m·n. Одним из базисов этого пространства может служить система матриц:

, где элементы  матрицы определяются равенствами:                                                                                                                                                                                                                             

Возьмем m=2, n=3. Тогда:

, , ,

, , .

Отсюда следует, что линейное пространство операторов, действующих из X в Y, есть конечномерное пространство размерности m·n.

           Если оператор  A:XY, B:YZ, C:XZ, то произведению операторов С=ВА соответствует произведение матриц. Действительно, пусть е, е,…,е- базис в X, f, f,…,f-   базис в Y, g , g,…,g- базис в Z. Тогда:

            Пусть  A:XY, е, е,…,е- базис X, g , g,…,g- базис Y. По определению, рангом оператора А называется размерность образа |. Но  и совпадает с максимальным числом линейно-независимых векторов среди  Ae, Ae,…, Ae. Учитывая, что столбцы матрицы А есть  координаты  в базисе g , g,…,g, задача сводится к нахождению максимального числа линейно-независимых столбцов матрицы А. Другими словами, ранг оператора А равен рангу матрицы оператора А.

            Дефект оператора- размерность ядра |, т.е. .

  Пусть x. Тогда для координат x в базисе  е, е,…,е выполняется условие Ax0. Верно и обратное. Таким образом, дефект равен размерности пространства решений однородной СЛАУ и равен .

  Пусть A:XX и А – невырожденный оператор. Тогда dimX=rgA=n и соответствующая n×n-матрица будет иметь n–линейно-независимых столбцов, т.е. ее определитель не равен нулю. Верно и обратное. Таким образом, линейный оператор невырожден тогда и только тогда, когда определитель его матрицы не равен нулю.