Курс общей физики для студентов ИДО. Часть II. Электростатика. Магнетизм. Колебания и волны: Учебное пособие, страница 4

Если поверхность замкнутая, поток вектора напряжённости равен

,    

т. е. интеграл берётся по замкнутой поверхности s.

В этом случае принято направлять вектор n наружу от поверхности. При этом поток через замкнутую поверхность положителен, если суммарный заряд, охваченный замкнутой поверхностью, положителен.

Размерность потока вектора напряжённости [Ф]=В.м=Н.м2/Кл.

1.6.  Теорема Гаусса

Теорема Гаусса – основная теорема электростатики. Она устанавливает связь между потоком вектора напряжённости через замкнутую поверхность и суммарным зарядом, охваченным этой поверхностью.

Рассмотрим эту теорему.

Пусть электрическое поле создано положительным точечным зарядом q.

Найдём поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность, охватывающую этот заряд.

В качестве поверхности выберем сферу радиуса r, центр которой совпадает с зарядом q.

Будем считать, что векторы n во всех точках замкнутой поверхности направлены от центра сферы.

Поскольку заряд, создающий поле, положителен и распо-ложен в центре сферы, постольку угол между вектором Е и вектором n во всех точках поверхности равен нулю.

Поэтому поток вектора напряжённости через элементарную поверхность ds будет равен Еnds = Ecosads = Ecos0ds = Eds.

Другими словами, в рассматриваемой ситуации скалярное произведение вектора напряжённости электростатического поля на вектор элементарной поверхности ра-вен произведению модулей этих век-торов.

Напряжённость поля, созданного то-чечным зарядом, равна .

Поскольку заряд расположен в центре сферической по-верхности, расстояние от заряда до поверхности во всех её точках одинаково и равно r. Следовательно, модуль вектора напряжённости во всех точках сферической поверхности одинаков: E = const.

Константу можно вынести за знак интеграла, поэтому поток вектора напряжённости через замкнутую поверхность в данном случае равен .

Интеграл от элементарных площадей поверхности s, взятый по всей поверхности, равен площади этой поверхности s.
В данном случае поверхность является сферой, площадь которой s = 4pr2.

Таким образом, поток вектора напряжённости через замкнутую поверхность в данном случае равен .

Подставив выражение для расчёта напряжённости, получаем

.

Можно показать, что поток вектора напряжённости поля точечного заряда через замкнутую поверхность будет равен  и в том случае, когда заряд находится не в центре сферической поверхности.

Более того, поток будет таким же, даже если поверхность будет иметь любую форму.

Если поверхность охватывает несколько зарядов qi, поток каждого из зарядов через замкнутую поверхность будет равен . Суммарный поток, созданный всеми зарядами, будет равен .

Меняя последовательность суммирования и интегрирования и учитывая, что в соответствии с принципом суперпозиции , получаем , где Е – вектор напряжённости поля, созданного всеми зарядами, охваченными замкнутой поверхностью.

Итак, проведённый анализ позволил получить следующее соотношение:

.

Это соотношение имеет универсальный характер и называется теоремой Гаусса: поток вектора напряжённости электри-ческого поля через замкнутую поверхность равен отношению суммы зарядов, охваченных этой поверхностью, к электри-ческой постоянной.

Обратите внимание: в выражении теоремы Гаусса отсут-ствуют характеристики положения зарядов qi.

Это означает, что поток вектора напряжённости не зависит от того, как расположены заряды, охваченные замкнутой поверх-ностью. Более того, поток вектора напряжённости не изменится, если изменится взаимное расположение зарядов, охваченных поверхностью.

Практическое значение теоремы Гаусса заключается в том, что с её помощью значительно упрощается расчёт полей, созданных симметричными распределениями зарядов. В этом случае можно выбрать поверхность такой формы, что , где S^ – площадь части замкнутой поверхности, пронизываемой электрическим полем.

1.7.  Примеры расчёта напряжённости полей

с помощью теоремы Гаусса

Рассмотрим несколько примеров расчёта электростатических полей с помощью теоремы Гаусса.

1.7.1. Поле бесконечной равномерно заряженной

прямолинейной нити