Инвариантные подпространства

Инвариантные подпространства

Пусть .

Определение. Подпространство L линейного пространства X называется инвариантным относительно оператора A, если .

Каждый линейный оператор имеет по крайней мере два тривиальных инвариантных подпространства – нулевое (только из нулевого вектора) и все пространство X. Образ и ядро линейного оператора также являются инвариантными подпространствами.

Знание какого-либо инвариантного подпространства позволяет построить базис, в котором матрица оператора имеет более простой вид. Действительно, пусть оператор A имеет в n-мерном пространстве X инвариантное подпространство L размерности m. Выберем базис  в L и дополним его до базиса всего пространства X векторами . Построим матицу оператора A в полученном базисе. Поскольку  принадлежат L, будем иметь:

        Отсюда следует, что матрица оператора A в базисе  клеточная:

,     (1)

где  - квадратная матрица порядка m,  – квадратная матрица порядка n-m, O – нулевая матрица размеров ,  -  матрица размеров .

 Предположим теперь, что пространство X разложено в прямую сумму инвариантных подпространств L и M. Выберем базис  в X таким образом, чтобы его первые m векторов принадлежали L, а остальные  векторов принадлежали M. В этом случае образы  можно разложить – лишь по векторам , а образы  лишь по векторам . Матрица  в соотношении (1), очевидно, будет нулевой. Поэтому матрица  в рассматриваемом базисе будет иметь еще более простой вид:

.