Изолированные особые точки однозначного характера. Ряды Лорана. Вычисление вычетов. Вычисление интегралов по замкнутому контуру. Вычисление интегралов с помощью вычетов (Практические занятия № 11-23)

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №11-14.

Тема: Изолированные особые точки однозначного характера..

Ряды Лорана.

1. Пусть функция  регулярна в кольце 0<< (<<, если ), но не определена в самой точке . В этом случае точку  называют изолированной особой точкой однозначного характера для функции . По поведению функции вблизи точки  различают три вида изолированных точек особого характера:

1. Если  существует и конечен, то  устранимая особая точка;

2. Если  существует, но равен бесконечности, то  называется полюсом функции ;

3. Если  не существует, то точка  называется существенно особой точкой функции .

Определить тип особой точки  помогают теоремы

Теорема 1. Для того, чтобы изолированная особая точка  была устранимой особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы функция  была непрерывной и ограниченной в некоторой проколотой окрестности точки .

Теорема 2. Для того, чтобы точка  () была полюсом , необходимо и достаточно, чтобы эта функция представлялась в виде , , где - функция, регулярная в точке  (, , где - функция, регулярная в точке ). Целое число  называется порядком полюса  ().

2. Теорема 3. Функция , регулярная в кольце :  представляется в этом кольце сходящимся степенным рядом , где , , . Ряд  называется рядом Лорана для функции  в окрестности точки .

Ряд Лорана называется сходящимся в точке , если в этой точке сходятся ряды  и .

Главной частью ряда Лорана в окрестности особой точки, конечной или бесконечной, называется сумма всех тех и только тех членов ряда Лорана, которые стремятся к бесконечности при .

Главная часть- функция, регулярная во всей комплексной плоскости, кроме точки .

Правильной частью ряда Лорана в окрестности особой точки  называется разность между  и главной частью ряда Лорана.

Правильная часть ряда Лорана- функция, регулярная в точке .

3. Теорема 4. Для того, чтобы изолированная особая точка  была устранимой особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана в окрестности точки  была тождественным нулем.

Теорема 5. Для того, чтобы изолированная особая точка  была полюсом функции , необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана в окрестности точки  содержала лишь конечное число  членов, - порядок полюса.

Теорема 6. Для того, чтобы изолированная особая точка  была существенно особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана в окрестности точки  содержала бесконечное число членов.

Определение Точка  называется точкой сгущения полюсов функции , если  регулярна в некотором кольце 0<<, за исключением бесконечного числа полюсов , таких, что .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №15,16.

Тема: Вычисление вычетов.

Пусть функция  регулярна в проколотой окрестности точки a (a¹¥), т.е. в кольце 0<|z-a|<r. Вычетом функции  в точке a (a¹¥) называется величина , где число 0<r₀<r, и окружность проходится в положительном направлении.

Пусть функция f(a) регулярна в кольце r<|z|<¥. Вычетом функции  в бесконечности называется величина , где число >r и окружность проходится по ходу часовой стрелки.

Согласно теореме Коши =0, если a- точка регулярности функции . Вычет в бесконечности может быть отличен от нуля даже в случае, когда функция регулярна в бесконечности.

Для вычисления вычетов полезно утверждение: вычет функции  в точке  равен коэффициенту  ряда Лорана для функции  в окрестности точки .

Основные формулы для вычисления вычетов в полюсе:

1. Если  имеет  полюсом первого порядка, тогда =. В частности, если , где  и - регулярные в точке  функции, , =0, , то .

2. Если - полюс -го порядка функции , то =. В частности, если , - регулярная в точке функция, то .

3. Пусть  регулярна в точке . Тогда =.

4. Пусть  представима в виде , где  регулярна в точке =0. Тогда .

5. Пусть , , =

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №17-19.

Тема: Вычисление интегралов по замкнутому контуру.

Задачи на этих практических занятиях решаются с помощью теоремы о вычетах:

Пусть функция  регулярна в области  расширенной комплексной плоскости, за исключением конечного числа точек , , являющихся изолированными особыми точками однозначного характера, и непрерывна вплоть до границы  области , за исключением тех же точек. Граница области предполагается состоящей из конечного числа кусочно-гладких замкнутых кривых. Тогда =, если граница обходится в положительном направлении.

Если область  содержит , то она причисляется к точкам , даже если функция  регулярна в ней.

При вычислении интегралов от функций, регулярных во всей комплексной плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек однозначного характера, следует иметь в виду, что полная сумма всех вычетов такой функции (включая вычет в бесконечности) равна нулю.