Функции случайных величин

Функции случайных величин.

          h₁=x₁+x₂     h₁=x₁x₂

          у=х₁+х₂      у=х₁х₂

                Пусть имеется произвольное вероятностное пространство (Е,U,Р), функция x(w), где wÎЕ – случайная величина, определенная на вероятностном пространстве (x(w)) и функция у=g(х) – функция определения на всей вещественной оси.

Определение 1. Суперпозиция h=j(x) случайной величины x, определенной на вероятностном пространстве x(w), wÎЕ и обычной функции j(х)=у, определенной на всей вещественной оси, называется функцией случайной величины x, если "хÎR событие (h<х)ÎU (алгебре событий).

          Если имеется n произвольных случайных величин x₁, x₂, …, x_n, определенных на одном и том же вероятностном пространстве и какая-то функция Z=f(х₁, …,х_n), то можно рассматривать случайную величину

                                            z=f(x₁, x₂, …, x_n),                                        (1)

где z связана с x₁, x₂, …, x_n функциональной зависимостью.

          Например, Z=ехр (х₁+2х₂×х₃)

                                      z=ехр (x₁+2x₂×x₃).

          Поскольку законы распределения случайной величины x_i,  известны, то и законы распределения случайной величины h (или z) также известны.

          h=g(x), y=g(x), F_x(x)=P(x<x)

          Плотность распределения .

          Если известна Р_h(х), то .

                                                        (2)

          Эта функция дает возможность по известной плотности распределения записать функцию распределения. Формула (2) может быть получена с помощью теоремы.

Теорема 1 (о законе распределений функций от случайной величины). Пусть есть случайный вектор т.е. - вектор функция, где  - вектор с непрерывными компонентами и  - плотность распределения вектора .

          Если отображение  непрерывно и дифф-мо и его якобиан , то тогда случайный вектор  имеет непрерывное распределение, плотность которого:

                                                              (3)

          y₁=g₁(x₁, …, x_r)    Точка M(x₁, …, x_r)

          ………………

          y_r=g_r(x₁, …, x_r)     Точка (y₁, …, y_r)

 - якобиан преобразования.

                                                          (Без доказательства).

Теорема 2 (при h=Аx+В, А¹0, у=Ах+В). Если случайная величина x распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием М[x]=m и дисперсией D[x]=s², то случайная величина h, связанная с ней линейной функцией h=Аx+В, А¹0, также имеет нормальный закон распределения, причем