Закон сохранения механической энергии

Страницы работы

Содержание работы

Закон сохранения механической энергии можно сформулировать следующим образом: механическая энергия сохраняется в процессе движения замкнутых механических систем и систем, находящихся в стационарных потенциальных силовых полях; указанный закон является следствием однородности времени.

Действительно для любой механической системы, относящихся к одному из двух указанных классов, можно ввести понятие о полной потенциальной энергии. У замкнутых систем она состоит из внутренней потенциальной энергии парного взаимодействия частиц.

(1)

Вследствие однородности времени (физ., эквивалентности различных его моментов по отношению к замкнутой системе) потенциальная энергия (1) не может быть явной функцией времени t. Полная потенциальная энергия системы, находящейся в стационарном потенциальном поле, складывается из ее внутренней части U⁽ⁱ⁾ и внешней части U⁽^e⁾ , описывающей взаимодействие системы с внешним силовым магнитным полем. Но так как внешнее поле стационарно, то полная потенциальная энергия такой системы является явной функцией времени t, т.е.

(2)

Из выражения (1) и (2) видно, что полную производную по времени от потенциальной энергии как замкнутой системы, так и системы, находящейся в стационарном потенциальном силовом поле можно записать в виде

(3)

Заметим, что если бы время не обладало свойством однородности (т.е. можно было бы опытным путем установить физическую неравноценность различных моментов времени), то это неизбежно привело бы к явной зависимости от временной потенциальной энергии любой из рассматриваемых нами систем, при этом в полную производную (3), пришлось бы дополнительно включить частную производную.

Обратимся теперь к системе дифференциальных уравнений движения, которую, имея в виду потенциальный характер всех внешних и внутренних сил, действующих на механические системы, мы запишем в виде (4) умножая i- тое уравнение системы (4) скалярно на вектор и учитывая очевидное равенство:

(5)

Получим новую систему уравнений

, (6)

Равносильную системе (4). Складывая почленно уравнения (6) и изменяя в левой части получаемого при этом равенства порядок выполнения операций суммирования и дифференцирования, получаем уравнение

(7)

которое, используя выражение (3), можно окончательно записать в виде

(8)

уравнение (8) показывает, что в процессе движения у замкнутой механической системы, находящейся в стационарном потенциальном поле, сохраняется скалярная величина

Сохраняющуюся величину Е называют полной механической энергией системы: она складывается из двух существенно различных членов: кинетической энергии

зависящей от скоростей частиц, и потенциальной энергии U, зависящей от их координат E=T+U=const. Нетрудно видеть, что полная энергия обладает свойством аддетивности: если пренебречь взаимодействием частиц, то полную энергию замкнутой системы и системы находящейся в потенциальном силовом поле, можно представить в виде

где E_i – полная механическая энергия отдельной частицы. Механической системы, у которой полная энергия сохраняется, принято называть консервативными. Закон сохранения для консервативной системы происходит в непрерывном превращении ее кинетической энергии в потенциальную и обратно. В этом состоянии закон сохранения (9) является частным случаем всеобщего закона сохранения и превращения энергии различных форм движения материи.

Для механических систем, находящихся не в стационарных силовых полях тоже можно ввести понятие о полной потенциальной энергии как суммы потенциальных энергий системы во внешнем силовом поле, явно зависящем от времени, и энергии взаимодействия частиц, входящих в систему.

(14)