Метод Рунге-Кутта, страница 2

       (5.17)

для которой Μ_τ зависит от τ, что означает наличие области изменения τ например, τ ≤ τ₀, в которой выполнена оценка (5.17). В .этом случае разностную схему (5.16) называют слабо (условно) устойчивой.

Рассмотрим вопросы устойчивости разностных схем для аппроксимации задачи Коши для линейного ОДУ первого порядка, т.е. для модельной задачи вида :

                                                                                                                                                                                   (5.18)

Пусть B_τ⁽¹⁾ = B_τ⁽²⁾=Η_τ- линейное нормированное пространство сеточных функций у_i с нормой

(5.19)

являющейся сеточным аналогом нормы С. Тогда условием устойчивости разностных схем, аппроксимирующих модельную задачу (5.18), является следующее неравенство:

Пример 1. Явная схема Эйлера

                                                                                       (5.20)

Условие устойчивости (5.19) выполнено если |1 ± τλ| ≤ 1 или τλ ≤ 2. Таким образом, разностная схема (5.20) условна устойчива при условии

τ ≤ 2/λ                                                 (5.21)

Пример 2. Неявная схема Эйлера

(5.22)

Условие устойчивости (5.19) выполняется при любом τλ ≥ 0 т.е. разностная схема (5.22) безусловно устойчива.

Пример 3. Схема Рунге-Кутта второго порядка. Применяя схему (5.12), где                имеем

                                                                                       (5.23)

Схема устойчива при условии |q| ≤ 1, что имеет место при τ ≤τ₀, τ₀ ≈ 2/λ.

Итак, схема (5.23) устойчива при том же условии, что и явная схема Эйлера.

Пример 4. Схема Рунге-Кутта четвертого порядка. Применяя разностную схему (5.14) с поправками (5.15) для случая f(t,y) = λy, имеем

Условие устойчивости (5.19) выполнено при ‌‌‌‌‌|q| ≤ 1 или при τ ≤≤ 2,78/λ.