Исследование системы временной коммутации на примере модели системы массового обслуживания с очередями

Страницы работы

4 страницы (Word-файл)

Содержание работы

ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТКЕМЫ ВРЕМЕННОЙ КОММУТАЦИИ НА ПРИМЕРЕ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОЧЕРЕДЯМИ

Система уравнений Эрланга для СМО с очередями

            В отличие от СМО   с отказами, если   все каналы заняты, то запрос не получает отказа , а становится в очередь.

n - число каналов;

Пусть  N (t) – число запросов, находящихся  в данный момент времени  t  в системе и обслуживаемых коммутатором;  N (t) - случайный процесс с конечным множеством значений и непрерывным временем.

pk(t) = P{N(t) = k} - вероятность того , что в момент времени t в системе находится ровно k заявок, т.е. pk(t)  - одномерные законы распределения процесса N(t)  .

Число k может принимать значения 0,1,2, . . . ,n, n+1, . . .  .

Если n ³ k ,это означает , что в СМО k каналов занято и очереди нет , если k > n , то все каналы заняты обслуживанием  и k-n заявок стоят в очереди .

Для составления дифференциальных уравнений Колмогорова - Чемпена плотности перехода, т.е. веса ребер направленного графа lij , i ¹ j имеют вид:

         li i-1=im  при i=1,2,...,n ;

         li i-1=nm  при i>n ;

         li i+1=l  при i=0,1,...

         li i ±k=0  при k ³ 2

            Следовательно, система уравнений Колмогорова - Чепмена имеет вид:

p0'(t)=mp1(t)-lp0(t) ;

p1'(t)=lp0(t)+2mp2(t)-(l+m)p1(t) ;

. . .

pi'(t)=lpi-1(t)+(i+1)mpi+1(t)-(l+im)pi(t) , i=1,2,...,n-1 ;

. . .

pn'(t)=lpn-1(t)+nmpn+1(t)-(l+nm)pn(t) ;

. . .

pk'(t)=lpk-1(t)+nmpk+1(t)-(l+nm)pk(t) , k=n,n+1,..

и называется системой дифференциальных уравнений Эрланга для СМО с очередями.

            Если в начальный момент времени заявок в СМО нет: pk(0)=1, k=0;   pk(0)=0 , k>0,  то система уравнений Эрланга имеет единственное решение, однако в общем случае записать это решение практически невозможно.

            Наиболее важным частным случаем решения системы уравнений Эрланга является ее решение в стационарном режиме, т.е. когда существуют конечные пределы  pk = lim pk(t) = 0.

Следовательно, система дифференциальных уравнений Эрланга превратится в систему линейных алгебраических уравнений для отыскания вероятностей pk :

0=mp1-lp0 ;

0=lp0+2mp2-(l+m)p1 ;

. . .

0=lpi-1+(i+1)mp1+1-(l+im)p,i=1,2,...,n-1 ;

. . .

0=lpn-1+nmpn+1-(l+nm)pn ;

. . .

0=lpk-1+nmpk+1-(l+nm)pk , k=n,n+1,...

Кроме того, на вероятности pk  налагается естественное условие нормировки :.            Рекуррентно решая систему, получим для вероятностей рк формулу, которая называется формулой Эрланга для истемы с очередями

 

 и определим p0 из условия нормировки :

 å¥ pk= ån (ak/k!)p0 + å¥(ak/nk-nn!)p0 =p0[  ån(ak/k!) + (nn/n!)å¥(a/n)k ] = 1.

k=0              k=0                          k=n+1                                          k=0                                    k=n+1

Похожие материалы

Информация о работе