Фундамент анализа. Последовательности рациональных чисел

Страницы работы

2 страницы (Word-файл)

Содержание работы

§ 4. Фундамент анализа, 1. Последовательности рациональных чисел

4.1. Вступление. Даже простейшая форма предельного перехода – предел последовательности – базируется на свойстве полноты множества действительных чисел. Поэтому знакомству с пределом последовательности предшествует ознакомление со строгой теорией действительных чисел, хотя сама она лежит за пределами анализа. Тонкое изложение этой теории можно найти в основаниях математики, равносильной теоретической арифметике.

Внимание! Забудем с данного момента о существовании действительных чисел.

Нам известны лишь следующие числа и их свойства.

N = {1; 2; 3; 4; ...}

Z = {..., –1; 0; 1; ...}

Q = {m/n | m Î Z, n Î N}

4.2. Последовательности рациональных чисел, сходящиеся к рациональному числу.

Определение. Последовательностью рациональных чисел называется отображение множества N в Q. Т.о., последовательность рациональных чисел – числовая функция q, заданная на N и принимающая значения в Q:

D(q) = N; E(q) Ì Q.

Значение функции q, принимаемое в точке n, обозначают через qn = q(n) и называют n-м членом последовательности. Последовательность q будем обозначать: q = (q1, q2, ... , qn, ...) или q = (qn). " n Î N, qn Î Q.

Примеры.

1.  " n Î N, qn =1.

2.  " n Î N, qn = (–1)n.

3.  " n Î N, qn = 1/n.

4.  " n Î N, qn = n.

5.  q1 = 1,4; q2 = 1,41; q3 = 1,414; q4 = 1,4142; q5 = 1,41421; q6 = 1,414213; q7 = 1,4142135; q8 = 1,41421356; ...

Определение. Будем говорить, что последовательность (qn) рациональных чисел сходится к 0, если для любого рационального положительного числа e можно найти такое натуральное p, что для всех членов последовательности, у которых номер n ³ p, выполняется неравенство: |qn| £ e, и писать: lim qn = 0.

lim qn = 0 Û (" 0 < e Î Q $ p Î N ((" n Î N, n ³ p) Þ |qn| £ e)).

Внимание! Мы употребляем знак нестрогого неравенства (£) там, где это возможно, и строгого неравенства (<) только там, где это абсолютно необходимо (в силу существа дела). Когда мы пишем знак строгого неравенства, то это явное предупреждение, что здесь требуется осторожность и знак нестрогого неравенства не подходит.

Например, если в предыдущем определении написать вместо e > 0 – e ³ 0, то сходиться к 0 будут лишь последовательности вида: (q1; q2; ... ; qp-1; 0; 0; ...), у которых все члены, начиная с qp – суть нули.

В примере (3) lim qn = 0, но все члены qn отличны от 0.

Определение. Будем говорить, что последовательность (qn) рациональных чисел сходится к рациональному числу q0, если последовательность (qn – q0) сходится к нулю, и записывать: lim qn = q0. Рациональное число q0 назовем пределом последовательности (qn) рациональных чисел, а саму последовательность (qn) – сходящейся в Q.

lim qn = q0 Û (" 0 < e Î Q $ p Î N ((" n Î N, n ³ p) Þ |qn – q0| £ e)).

В примере (1) lim qn = 1. Последовательности (2), (4), (5) не сходятся в Q.

Высказывание

А) "Для любого 0 < e Î Q можно найти такое p Î N,что для всех N ' n ³ p выполняется неравенство |qn – q0| £ e" логически равносильно высказыванию

В) "Для любого рационального положительного числа e можно найти такое натуральное p, что для всех номеров n ³ p выполняется неравенство |qn – q0| £ e/2 (или |qn – q0| £ e/3, или |qn – q0| £ e/4, или т.п.)".

Теорема. Если последовательность (qn) рациональных чисел сходится к рациональному числу q0, то ее предел q0 единственный.

Доказательство. Допустим, что lim qn = q0 Î Q и lim qn = q0/ Î Q.  Тогда на основании определения предела последовательности

" 0 < e Î Q $ p1 Î N ((" n Î N, n ³ p1) Þ |qn – q0| £ e/2),

                     $ p2 Î N ((" n Î N, n ³ p2) Þ |qn – q0/| £ e/2).

Возьмем p = max (p1,p2). Тогда для всех n > p будут одновременно выполняться неравенства |qn – q0| £ e/2 и |qn – q0/| £ e/2. Þ |q0 – q0/| = |q0 – qn + qn – q0/| £  |q0 – qn| + |qn – q0/| £ e/2 + e/2 = e. Поскольку |q0 – q0/| ³ 0 и, как показано выше,   |q0 – q0/| £ e для любого положительного числа e, то q0 – q0/ = 0 Þ q0 = q0/.

Похожие материалы

Информация о работе