Решение обыкновенного дифференциального уравнения. Формула Эйлера. Формула Рунге-Кута. Формула Адемса. Погрешность

Страницы работы

3 страницы (Word-файл)

Содержание работы

1.  Решение ОДУ. Формула Эйлера. Формула Рунге-Кута. Формула Адемса. Погрешность.

Задача Коши:

у'=f(x,y)

y(x0)= y0.

Методы решения ОДУ: 2 класса: одно и многошаговые методы.

Рассмотрим одношаговые методы.

Метод Эйлера:

Пусть неизвестна т. (xm,ym) искомой кривой. Проведем прямую линию с tg угла наклона у'm=f'(xm,ym) проходящею через точку (xm,ym). Уравнение этой прямой y=y m= у'm(x-xm)= f(xm,ym)(x-xm). Следующая точка приближения та, где прямая пересечет вертикаль проходящею через точку xm+1=xm+h.

                                 L

                    l                          у'(x)

 


уm                                                                 уm+1

 

             xm                   xm+1=xm+h

ym+1=ym+ уm'h

уm'= f(xm,ym).     (1)

Решение по (1) согласуется с разложением в ряд Тейлора, вплоть до членов порядка h. Этот метод является методом Рунге-Кута 1-го порядка.

Погрешность. Ошибка ограничения e=kh2, k=const.  

Исправленный метод Эйлера:

В этом методе находится средний tg угла наклона касательной для 2-х точек (xm,ym) и Î (средний tg угла наклона)=(xm+h, ym+ hy'm).

                                 Î

                                L1       L2

                                 L

                    l                          у'(x)

 


уm                                                                 уm+1

 

             xm                   xm+1=xm+h

Алгоритм:

1. с помощью метода Эйлера находим точку(xm+h, ym+ hy'm), лежащую на L1, с tg угла наклона уm'= f(xm,ym).

2. в этой точке снова вычисляется tg угла наклона касательной f(xm+h, ym+ hy'm) и проводится прямая L1.

3. усреднение этих tg-ов дает Î, tg ее угла наклона= 1/2[f(xm,ym)+f(xm+h, ym+ hy'm)]  (2)

4. через т. (xm,ym) проводим прямую // Î. Уравнение этой прямой: y- ym= Ф(xm,ym,h) (xm,ym).

Точка в которой L пересечет вертикаль, проходит через точку xm+1= xmh, и будет искомой (xm+1,ym+1).

ym+1= ym+hФ(xm,ym,h). (3).

Формула Рунге-Кута.

ym+1= ym+hФ(xm,ym,h), где Ф(xm,ym,h)=а1f (xm,ym)+ а2f (xm+b2h, ym+ b2hy'm).

y'm= f(xm,ym).

am,bm - const.

В частности, для исправленного метода Эйлера: am=1/2, bm=1.

2.  Вариационное исчисление. Симплекс-метод - определение. Критерий оптимальности. Алгоритм.

Основной метод ЛП - СМ, разработанный для специальной задачи в канонической форме:

c'x→max, Ax=b, x≥0. (1)

ЦФ - maxимизируется, а все переменные имеют ограничения.

Введем обозначения:

J={1,…,n} - множество индексов переменной xj.

I= {1,…,m} - множество #-ов основных ограничений.

aj= Є R

- j-ый столбец матрицы А. Вектор х Є Rm - базисный план (1), . если он удовлетворяет всем ограничениям задачи, и его переменные разбиты на 2 группы: 1. базисные: xj1,… xjm.; и 2. не базисные xj, j Є Jh=J\JБ. Причем: 1. xj=0, j Є Jh.; 2. aj, jЄJБ - линейно независимы в Rm. 3. Если составить матрицу АБ= (aj, jЄJБ), то det АБ≠0. Эта матрица называется базисной.

Критерий оптимальности: Пусть известен БП (xj, JБ), тогда: ∆н≥0 - достаточно, а для невыражденного БП необходимо для его оптимальности.

Достаточно: пусть ∆н= хн - хн ≥0., хн ≥0, хн =0. Тогда: с'х - c'x, для всех х ЄХ, х - оптимум.

Необходимо: Пусть х -ОБ и невырожденный план → хБ >0.

Предположим противное, т.е. существует j0ЄJн: ∆j0<0.

Построим вектор приращений ∆х с.о.: пусть ∆хj=0, j Є Jh\r0, а ∆хj0= Θ≥0.

Базисные компоненты приращений подбирают т.о. что бы оставалось А∆х=0 и ∆хБ= -А-1БАн∆хн.

При выполнении этих условий вектор ∆х будет удовлетворять основным ограничениям задачи (1). →

∆хБ= - ΘА-1БАнaj0. Построим вектор хн = х+∆х.

Θ можно подобрать т.о., ч.б. вектор х был планом задачи, т.е. х>0.

Тогда, план х лучше х, т.е. получаем противоречие с оптимальностью х.

Алгоритм:

Пусть имеется объект, поведение которого надо оптимизировать.

1.  изучение и описательное регулирование.

а) изучение структуры объекта.

б) изучение основных способов функционирования составных частей.

в) выясняют цель оптимизации.

г) собирают конкретную цифровую информацию о структуре функции и цели объекта.

2. Математическое моделирование.

а) построение неизвестных параметров х1,…,хn, которые однозначно описывают поведение объекта изменением которых можно выполнить достижение цели.

б) запись основных связей и закономерностей функционирования объекта с помощью введенных неизвестных хj и мат. операций. В результате приходим к системе ограничений на хj. В совокупности все эти ограничения и задают множество планов Х, а именно: вектор х т.т.т. является планом, есди он удовлетворяет всем ограничениям одновременно.

в) запись с помощью неизвестных и мат. операций ЦФ f(x).

После чего, мы приходим к задаче в форме (1).

3. Теоретическое исследование и выбор метода, вкл. в себя:

а) выяснение к какому классу задач оптимизации относится наша.

б) изучении теории по данному классу задач и методах которые для него имеются. Если нет, то работают доп. исследования, учитывающие специфику задачи. Модифицируется или разрабатывается новый метод.

4. Построение ОП.

а) выясняем им-ся ли программа реализации нашего метода: Да- то используем; Нет- строим свою.

б) вводим в программу числовые параметры конкретной задачи.

5. Исследование. Сравнивается полученный ОП с реальным поведением объекта. Если есть возможность, то проводим эксперимент.

Если решение нас не удовлетворяет, то процесс решения задачи оптимизации может быть улучшен на всех этапах 1-4. При решении задачи оптимизации, возможны ошибки погрешности во всех 5 пунктах.

3. Принцип Лагранжа снятия ограничений для задач с ограниченными равенствами.

По параметрам задачи c'x→max, Ax=b, x≥0, вводим функцию Лагранжа.

F(x,λ)= λf(x)+ Σλigi(x)= λ0f(x)- x0λ(x) - обобщенная функция Лагранжа.

F(x,λ)= f(x)+ λ'g(x).

λ=λi - множители Лагранжа.

λ - обобщенный λ - классический вектор Лагранжа.

F(x,λ)λ0=1 = F(x,λ).

Обобщенное правило Лагранжа: если Х0 - ЛОП, тогда существует такой обобщенный вектор Лагранжа λ0, λ0≠0. .

Из числа задач 1 можно выделить такой подкласс, который с одной стороны является достаточно широким, ему принадлежат практически все задачи возникающие в приложениях, а с другой стороны, для которых правило Лагранжа справедливо в классической форме (λ00=1).  

Обобщенное и классическое правило Лагранжа вместе образуют т.н. принцип Лагранжа снятия ограничений, согласно которого ОП и ЛОП задачи (1) следует искать среди решений системы  и системы .

Похожие материалы

Информация о работе