Произвольные последовательности. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Частичные верхний и нижний пределы

Страницы работы

3 страницы (Word-файл)

Содержание работы

§ 12. Произвольные последовательности

12.1 Подпоследовательности.

Определение. Подпоследовательностью последовательности действительных чисел называется последовательность (yk), которая получается из (xn) удалением некоторых членов и сохранением порядка остальных.

x1; x2; x3; x4; x5; x6; x7; …;  xnk; …

x1; y1; x3; x4; y2; x6; y3; …;  yk; …

Поскольку yk = xnk, то последовательность (yk) обычно обозначают (xnk). Последнее обозначение хорошо тем, что указывает из какой последовательности получена подпоследовательность. Всегда n1 < n2 < n3 < … < nk < … Исходная последовательность (xn) может рассматриваться в качестве подпоследовательности самой себе:

" k Î N nk = k

Теорема 1. Каждая подпоследовательность, сходящаяся в R последовательности действительных чисел, имеет тот же предел, что и исходная последовательность.

*           Пусть lim xn = x0 Î R, тогда " e > 0 $ p Î N (n ³ p Þ | xnx0 | < e). Так как np ³ p, то " k Î N (k ³ p Þ |xnkx0 | £ e). Это означает, что .

Пусть теперь lim xn = +¥, то есть " e Î R $ p Î N (k ³ p Þ xnk ³ e), то есть .

Аналогично рассматривается случай: lim xn = – ¥.

Теорема 2. Если все подпоследовательности некоторой последовательности (xn) действительных чисел  сходятся в R, то они все сходятся к одному и тому же пределу.

* Очевидно. Действительно, последовательность (xn), как подпоследовательность самой себя, сходится к некоторому пределу. Тогда все ее подпоследовательности в силу Теоремы 1 сходятся к тому же пределу.

Важное значение имеет, так называемая,

12.2 Лемма Больцано-Вейерштрасса .

Лемма. Из всякой ограниченной последовательностидействительных чисел можно выделить сходящиеся в R подпоследовательность.

* Доказывается методом деления отрезков пополам.

По условию $ M > 0 " n Î N xn Î [ – M, M ].

Разделим [ – M, M ] пополам. Через D1 обозначим ту из его половинок, что содержит бесконечно много членов последовательности (xn) и находится правее. Выберем член xn1, последующий (xn), принадлежащий отрезку D1.

Разделим D1 пополам. По крайней мере хотя бы одна из половинок содержит бесконечно много членов (xn), ибо в противном случае отрезок D1 содержал бы конечное число членов (xn), чего быть не может. Обозначим через D2 ту из половинок D1, что содержит бесконечно много членов xn и находится правее. Выберем член xn2, принадлежащий D2 и такой, что         n2 > n1.

Если отрезки D1 É D2 É … É Dk-1 выбраны, то

a) разделим отрезок Dk-1 пополам;

б) через Dk обозначим ту из половинок, что содержит бесконечно много членов (xn) и находится правее;

в) выберем xnk Î Dk; nk > nk-1.

По лемме о вложенных отрезках существует единственная точка x0 такая, что " n Î N x0 Î Dn.

Так как xnk Î Dk = [ ak; bk ], то есть ak £ xnk £ bk, то в силу принципа двустороннего ограничения lim xnk = x0.

Обобщением леммы Больцано-Вейерштрасса является следующая теорема.

Теорема. Из произвольной последовательности (xn) действительных чисел можно выделить сходящиеся в R последовательность.

* Если xn = 0 (1), то теорема доказана выше.

Пусть xn ¹ 0 (1). Очевидно, если у неограниченной последовательности отбросить любое конечное число членов, то после такого отбрасывания снова получается неограниченная последовательность.

Так как (xn) – неограниченная последовательность, то найдется член xn такой, что           | xn1 | ³ 1.

Поскольку (xn), рассматриваемая с начального номера n1+1, также неограниченная, то найдется член xn2, такой, что | xn2 | ³ 2.

Продолжая этот процесс дальше, на котором иначе найдем член xnk с nk > nk-1, такой, что | xnk | ³ k. Очевидно, что lim | xnk | = +¥. При этом либо число положительных, либо число отрицательных членов подпоследовательности (xnk) заведомо является бесконечным, тогда в (xnk) можно, в свою очередь, выделить подпоследовательность, сходящуюся к +¥ либо к        –¥.

Похожие материалы

Информация о работе