Понятие функции. Предел функции в точке

Страницы работы

3 страницы (Word-файл)

Содержание работы

§ 16. Понятие функции. Предел функции в точке.

16.1. Определение функции.

(самостоятельно)

16.2. Способы задания функции.

(самостоятельно)

16.3. Классификация функций.

Простейшие элементарные функции – это постоянная функция (если $ c Î R такая, что " x Î D(f) f(x) = с = const), степенная (a Î R фиксированное число; xa), показательная (y = ax, 0 < a ¹ 1), логарифмическая (logax, 0 < a ¹ 1), тригонометрическая (sin, cos, tg, ctg), обратно тригонометрическая (arcsin, arccos, arctg, arcctg).

Все функции, полученные из простейших конечным числом арифметических операций и суперпозиций образуют класс элементарных функций.

f(x) = |x| = ;

f(x) = lg3arctg+ sin3x...

Классификация элементарных функций.

1) P(x) = a0xm+…+am, m ³ 0 – целое число, a0 ¹ 0, a1, …, am – произведение фиксированного числа. P(x) называется целой рациональной функцией или многочленом.

2) P(x) =  – дробно-рациональная функция.

1) и 2) – рациональные функции.

3) функции, полученные с помощью конечного числа суперпозиций и четырех арифметических действий над смешенными функциями с любым показателем и не являющиеся рациональными называются рациональными функциями. f(x) = .

4) каждая функция, не являющаяся рациональной или иррациональной называется трансцендентной. f(x) = sinx + x.

16.4. Предел функции в точке.

Сначала определим предел функции в точке «по Гейне», то есть на языке последовательностей.

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X Ì R и пусть x0 – предельная точка множества X (x0 Î X или x0 Ï X). Возьмем последовательность (xn) точек из X, сходящейся к x0. Значения функции f в этих точках образуют последовательность.

f(x1), f(x2), …, f(xn), …

и можно ставить вопрос о существовании ее предела.

Определение 1. Число A называют пределом функции f(x) в точке x = x0 (или при x ® x0), если для каждой сходящейся к x0 последовательности (xn) точек из D(f) (отличных от x0) соответствующая последовательность (f(xn)) сходящейся к числу A.

Обозначение lim f(x) = A.

                         x ® x0

Функция имеет только один предел.

1) f(x) = C = const

lim f(x) = C.

  x ® x0

2) f(x) = x (f(xn) = xn) lim f(x) = x0.

                                      x ® x0

3) f(x) = sin () (x ¹ 0)

не имеет предела при x ® 0.

*а) xn =    ®   0  f(xn) = sin np = 0 ® 0

                       n ® ¥

 б) xn =  f(xn) = sin (2np – p) = 1 ® 1

0¹ 1, то есть предел последовательности значений функции зависит от выбора последовательностей значений аргумента, сходящейся к точке x = 0. Следовательно, f(x) не имеет предела в этой и точке.

4) f(x) = имеет в точке x = 0 предел, равный 1.

* " (xn): xn ® 0 и xn ¹ 0

lim f(xn) = lim = =  = 1

 n ® ¥               n ® ¥

Существует и другое определение предела функции.

Определение 2. Число A называется пределом функции f(x) в точке x = x0, если " e > 0 $ d > 0  "x Î x ((x ¹ x0, |x x0| < d) Þ |f(x) – A| < e). Это определение «на языке e – d» принадлежит Огюстену Коши (21.08.1789 – 1857) французскому математику. Генрих Гейне – немецкий математик (1821 – 1881)

Теорема 16.1 Первое и второе определения предела функции совпадают.

* 1) Пусть A – предел f(x) в точке x0 согласно первому определению. Покажем, что A – предел согласно второму определению. Предположим обратное, то есть A не является пределом этой функции согласно второго определения. Это означает, что не для всякого e > 0 можно указать такое d > 0, чтобы из неравенства 0 < |x x0| < d следовало неравенство |f(x) – A| < e. Следовательно, существует такое e = e0 > 0, что " d > 0 найдется хотя бы одна точка x ¹ x0 для которой |xx0| < d, по |f(x) – A| ³ e0.

Найдя такое e0, будем выбирать в качестве d последовательно числа: 1;  , …, … Тогда для dn =  выберем такое xn, чтобы 0 < |xnx0| <  и |f(xn) – A| ³ e0.

В результате получаем последовательность (xn) точек, отличающихся от x0 и сходящихся к x0. (Проверьте последнее)

В соответствии с определением 1 последовательность (f(xn)) должна сходиться к A. Это, в частности, означает, что для выбранного e0 > 0 найдется n0 такое, что " n ³ n0 |f(xn) – A| < e0. Но это противоречит тому факту, что "n Î N |f(xn) – A| ³ e0.

Полученное противоречие показывает, что A должно быть пределом f(x) в точке x0 и по определению 2.

2) Пусть теперь A – предел функции f(x) согласно определению 2, то есть " e > 0 $ d > 0: " x Î x (0 < |x x0| < d Þ |f(x) – A| < e). Тогда рассмотри произведение последовательности (xn) точек, отличных от x0 и сходящихся к x0.

Докажем, что (f(xn)) сходится к A. Для этого фиксируем произведение e > 0 и по нему с помощью определения 2 найдем соответствующее d > 0.

Далее, по числу d > 0 найдем n0 Î N такое, что " n > n0 0 < |xnx0| < d. Для этих же n в силу выбора d имеем |f(xn) – A| < e. Но это означает, что " e > 0 найдется n0 такое, что " n ³ n0 |f(xn) – A| < e. Следовательно, lim f(xn) = A.

В силу произвольности последовательности (xn) получаем, что A – предел f(x) и по определению 1.

16.5. Односторонние пределы (при x® x0+ и при x® x0-).

Определение 3. ЧислоA называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке x0, если для любой сходящейся к x0 последовательности (xn), элементы которой больше (меньше) x0, соответствующая последовательность (f(xn)) сходящейся к A.

lim f(x) = A (lim f(x) = A).

x ® x0+                 x ® x0-

                                +1, x > 0;

f(x) =  sign x =       0, x = 0;

     –1, x < 0.

lim f(x) = sign x

x ® 0+

Задание: сформулируйте определение односторонних пределов функции f(x) «на языке e – d».

Теорема 16.2. f(x) имеет в точке x0 предел тогда и только тогда, когда в этой точке $ как правый, так и левый пределы и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределом.

* Доказательство придумать самостоятельно или выучить его с помощью книги В.С. Шипачева «Высшая математика» стр. 77.

16.6. Предел функции при x®¥, при x®¥, при  x® +¥.

Определение 4. Число A называется пределом функции f(x) при x ® ¥, если для любой бесконечно большой последовательности (xn) последовательность (f(x)) сходится к A.

Определение 5. A = lim f(x), если " бесконечно большой последовательности (xn) с положительным (отрицательным) членами последовательности (f(xn)) сходящихся к A. и т.д.

f(x) =  ,   lim  = 0

    x ® ¥

16.7. Теоремы о пределах функций.

Определение предела функции на языке последовательностей позволяет перенести рассмотренные ранее теоремы о пределах последовательностей на функции.

Теорема 16.3. Пусть f(x) и g(x) имеют в точке x0 пределы В и С. Тогда f(x) ± g(x), f(xg(x) и f(x)/g(x) (при C ¹ 0) имеют пределы в точке x0, равные соответственно B ± C, B×C, и .

*

Теорема 16.4. Пусть f(x), g(x), h(x) определены в некоторых окрестностях точки x0, за исключением, быть может, самой точки x0, и функции f(x), h(x) имеют в точке x0 предел, равный A. Пусть, кроме того, f(x) £ g(x) £ h(x) " x Î x. Тогда lim g(x) = A.

                                                      x ® x0

Замечание: Теоремы 16.3 и 16.4 справедливы и в случае, когдаx0 является одним из символов +¥, –¥, ¥.

Похожие материалы

Информация о работе