Монотонные последовательности. Лемма о вложенных отрезках. Сходимость монотонной ограниченной последовательности в R

§ 11. Монотонные последовательности

11.1 Виды монотонных последовательностей.

Определение. Последовательность (x_n) действительных чисел называется возрастающей, если " nÎN x_n £x_n+1; строго возрастающей, если " nÎN x_n < x_n+1; убывающей, если " nÎN x_n ³x_n+1; строго убывающей, если " nÎN x_n >x_n+1.

Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными, а строго возрастающие и строго убывающие последовательности – строго монотонными.

Монотонные последовательности

Возрастающие		Убывающие
	строго возрастающие	строго убывающие

В настоящем параграфе монотонные последовательности рассмотрим отдельно потом­у, что для них вопрос о сходимости разрешается особенно просто.

11.2 Лемма о вложенных отрезках.

Основная операция математического анализа – предельный переход - базируется на свойстве полноты множества действительных чисел: любая фундаментальная последовательность действительных чисел сходится в R.

Напоминание. (x_n) – фундаментальная последовательность, если " e > 0 $ p Î N (" m Î N, " n Î N, m ³ p, n ³ p) Þ | x_m – x_n | £ e.

Наглядным выражением свойства полноты множества действительных чисел (непрерывности числовой прямой) служит, так называемая

Лемма (о вложенных отрезках).

Пусть последовательность отрезков D_n = [a_n; b_n] удовлетворяет двум условиям:

1) " n Î N  D_n É D_n+1;

2) lim (b_n – a_n) = 0.

Тогда существует единственная точка C, принадлежащая всем отрезкам D_n, то есть lim a_n = lim b_n = C.

      

…

a1

a2

a3

b3

b2

b1

1) Из условия теоремы следует, что a₁ £ a₂ £ a₃ £ … £ b₃ £ b₂ £ b₁         (1)

2) Второе условие теоремы означает, что lim | D _n | = 0. Следовательно, " e > 0 $ p Î N такой, что " n ³ p b_n – a_n £ e        (2)

ap		an		am			bp

Из (1) и (2) следует, что  " m ³ p и " n ³ p |a_n – a_m| £ e.

Так как e > 0 произвольно, то последнее означает, что последовательность (a_n) фундаментальна. В силу свойства полноты множества действительных чисел она сходится в R, то есть существует действительное число C₁, такое, что lim a_m = C₁             (3).

Аналогично устанавливается, что (b_n) – фундаментальная последовательность n, в силу полноты R,

               lim b_n = C₂.         (4)

2)

п. 10.2

Докажем, что C₁ = C₂. Рассмотрим разность C₁ – C₂. В силу (3) и (4) С₁ – С₂ = lim a_n – lim b_n     =     lim (a_n – b_n) =  0;

C₁ – C₂ = 0 Þ C₁ = C₂  .

11.3 Сходимость монотонной ограниченной последовательности в R.

Теорема (Вейерштрасса). Если последовательность действительных чисел монотонна и ограничена, то она сходится в R.

 Шаг 1. Если последовательность (x_n) принимает конечное число различных значений, то, начиная с некоторого p, все x_n = x_p и, значит, x_p = lim x_n.

Шаг 2.Пусть (x_n) принимает бесконечное число различных значений. Для определенности предположим, что она возрастает, то есть " n Î N x_n £ x_n+1. По условию, (x_n) ограничена: $ M > 0 (" n Î N |x_n| £ M), то есть x_n Î [ – M ; M].

– M		0		M