Выборка и ее анализ. Точечные и интервальные оценки. Проверка статистических гипотез о параметрах нормально распределенной генеральной совокупности, страница 14

3) .

Таблица 3. Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями

Переменная 1

Переменная 2

Среднее

СРЗНАЧ

СРЗНАЧ

Дисперсия

ДИСП

ДИСП

Наблюдения

СЧЕТ

СЧЕТ

Объединенная дисперсия

Гипотетическая разность средних

Число, равное предполагаемой разности средних 

df

Число степеней свободы  

t-статистика

Наблюдаемое значение статистики t

P(T<=t) одностороннее

Если , то

Если , то

СТЬЮДРАСП(t; df;1)

t критическое одностороннее

Критическая точка распределения Стьюдента

СТЬЮДРАСПОБР(2; df)

P(T<=t) двухстороннее

Если , то

СТЬЮДРАСП(t; df;2)

t критическое двухстороннее

Критическая точка распределения Стьюдента

СТЬЮДРАСПОБР(; df)

Проверка данной гипотезы осуществляется с помощью -статистики

,

распределение которой близко к распределению Стьюдента с числом степеней свободы, равным

,

округленным до целого числа. Здесь ,  – объемы выборок, , , ,  – выборочные средние и выборочные исправленные дисперсии соответственно. В случае равных объемов выборок ()

.

Вычисляется наблюдаемое значение  статистики.

При альтернативной гипотезе , , используя таблицы критических точек распределения Стьюдента, находится точка

,

Если , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу; если , то нулевая гипотеза отвергается.

При альтернативной гипотезе  по таблице критических точек распределения Стьюдента находится точка

.

Если , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу; если , то нулевая гипотеза отвергается.

При альтернативной гипотезе

.

Если , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу; если , то нулевая гипотеза отвергается.

Работа в Excel. Для проверки данной гипотезы используется статистический анализ Двухвыборочный t-тест с разными дисперсиями из Анализа данных меню Сервис (приложение 2). Результат анализа появится в виде таблицы. Формулы и соответствующие функции Excel, по которым выполняются расчеты в данном режиме, приводятся в таблице 4.

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий нормальных выборок. Пусть  и  нормально распределенные случайные величины, ~ и ~. И пусть  – выборка значений случайной величины , а  – выборка значений случайной величины . Необходимо по данным выборкам проверить равенство дисперсий  и .

Выдвигается гипотеза:

: ,

причем ,  неизвестны.

Альтернативной  может быть одна из следующих гипотез:

1)  (если ), или  (если ),

2) .

Проверка гипотезы  осуществляется с помощью -статистики:

,

имеющей распределение Фишера с  и  степенями свободы. Здесь ,  – выборочные исправленные дисперсии, ,  – объемы выборок;  – число степеней большей исправленной дисперсии (= или =),  – число степеней меньшей исправленной дисперсии (= или =).

Таблица 4. Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями

Переменная 1

Переменная 2

Среднее

СРЗНАЧ

СРЗНАЧ

Дисперсия

ДИСП

ДИСП

Наблюдения

СЧЕТ

СЧЕТ

Гипотети-ческая разность средних

Число, равное предполагаемой разности средних

df

Число степеней свободы , округленное до целого числа

В случае равных объемов выборок ()

t-статистика

Наблюдаемое значение статистики t

P(T<=t) одностороннее

Если , то

Если , то

СТЬЮДРАСП(t; df;1)

t критическое одностороннее

Критическая точка распределения Стьюдента

СТЬЮДРАСПОБР(2; df)

P(T<=t) двухстороннее

Если , то

СТЬЮДРАСП(t; df;2)

t критическое двухстороннее

Критическая точка распределения Стьюдента

СТЬЮДРАСПОБР(; df)

Вычисляем наблюдаемое значение  статистики .