Бинарное отношение. Единственность нейтрального и обратного элемента. Теорема о подгруппе. Теорема Лагранже и ее следствия

Страницы работы

Содержание работы

Бинарным отношением на множ Х наз любое множ упорядоч пар (х,у)эл-в множ Х и обозн R

Бинарное отнош ~ на множ Х наз отнош эквивал на Х,если оно 1.рефлексивно х~х (х∈Х) 2.симметрично х~у→у~х (х,у∈Х) 3.транзитивно х~у у~zx~z

Множ-во Сх = {y∈X|x~y} (x∈X) наз классами экивл по отнош тильда ~

Пусть {Аα} разбиение множ Х, положим х~у,если х и у эл-ты одного множ Аα,тогда ~отнош эквив на Х и порожденное им разбиение есть Аα

Класс эквив по отнош ~на множ Х образ новое множ кот наз фактормнож-во Х по ~

Пусть Х- непустое множ-во. Если каждой упоряд паре (х,у) эл-в множ-ва Х поставлен в соотв эл-т х*у∈Х,то говорят на множ-ве Х оперед бинарная агебраич операция*

Сво-ва: ассоциат,коммутативн,наличие нейтрал эл-та,обратимость эл-в

Пара(х,*)наз группоидом –алгебраич пример с одной операцией

Группоид с ассоциат операцией наз полугруппой

Полугруппа с 1 наз моноидом

Группоид наз группой если его операция ассоциатив,в нем сущ нейтрал эл-т,в нем каждый эп-т обратим

Если операция коммутативна то группа наз коммутативной или абелевой

Единственность нейтрального и обратного эл-та

Единица в моноиде ровно одна

Обратный эл-т для эл-та а,(если он сущ) в моноиде ровно 1

Группа бесконечного порядка если число ее эл-в бесконечно

Порядком конечной группы наз число ее эл-в

Пусть а-эл-т группы G.Если все степени эл-та а различны то а наз эл-м бесконечного порядка.В против случае сущ наименьшее полож целое число q,такое что aq=e.Это число наз порядком эл-та

Теормема о поряке эл-та

Если аm=e, то m кратно порядку эл-та а

Подмнож Н группы G наз подгруппой группы G если оно само явл группой относит той операции, кот определена в G

Теорема о подгруппе

Пусть Н-непустое подмнож группы G тогда следующ утвержд равносильны: 1.Н-подгруппа группы G 2.a,b∈H влечет ab∈H  a∈H→a-1∈H 3. a,b∈H→ab-1∈H

Группа порожденная одним эл-м наз циклической

Общий вид (бес)конечной циклической группы и ее порядок

Отображение φ:G→G’ наз изоморфизмом если оно биективное и сохраняет операцию φ(a*b)=φ(a)*φ(b)

Теорема об изоморфизме цикл групп

Всякая бескон цикл группа изоморфна группе Z.

Всякая конечная цикл группа порядка m изоморфна группе Zm

Подгруппы цикл групп

Любая подгруппа цикл группы явл цикл группой

В цикл группе порядка m для любого делителя числа d есть единств подгруппа порядка d

Теорема Лагранже и ее следствия

Порядок любой подгруппы конечной группы явл делителем порядка группы

Порядок любого эл-та конечн группы явл делителем порядка группы

Всякая группа простого порядка р явл цикл

Подгруппа Н группы G наз нормальной, если левые и правые смежные классы G по Н совпадают

Пусть G группа и Н ее норм подгруппа,тогда множ G по Н с операц аНвН=(ав)Н (а,в∈Н) образ группу наз факторгруппой G по Н

Отображение φ:G→G’ наз гомоморфизмом если оно сохраняет операцию φ(a*b)=φ(a)*φ(b)

Imφ=φ(G) ,  Ker φ=φ-1(e’) образ и ядро гомоморф

Теоремы об образе и ядре

Образ гомоморфизма φ:G→G’ явл подгруппой в G’.Ядро этого гомоморф явл норм подгруппой в G

Множ К с 2 операц +сложение и * умножение наз кольцом и обозн (К,+,*)

Подмнож L кольца К наз подкольцом кольца К если оно само явл кольцом относит тех операций кот есть в К

Теорема о подкольце

Непустое множ L явл подкольцом кольца К тттк оно замкнуто относит разности и умножения

Подкольцо L кольца К наз идеалом если К L⊂ L и LК⊂ L

Пусть К –коммутатив кольцо и а∈К.Тогда аК-идеал К

Теорема об идеале с 1

Пусть К-кольцо с 1, L- идеал в К и 1∈L.Тогда L=К

Идеал порожденный одним эл-м наз главным

Теорема о главных идеалах

Пусть К-коммутатив кольцо с 1.Тогда <а>=аК

Нетривиальный идеал кольца К наз максимальным ,если он не содерж ни в каком отличном от него нетрив идеале кольца К

Теорема о макс идеалах

Всякий нетрив идеал кольца К с 1 содерж в макс идеале кольца К

Пусть К кольцо и L идеал К,(L,+)подгруппа аддитив группы (К,+) кольца К.Тогда сущ факторгруппа K/L,ее эл-ты смежные классы

Отображение  φ кольца К в кольцо К’ наз гомоморфизмом если оно сохраняет операции  φ(а+в)=φ(а)+φ(в);φ(ав)=φ(а)∙φ(в)

Биективный гомоморфизм явл изоморфизмом

Imφ=φ(К) ,  Ker φ=φ-1(0’) образ и ядро  гомоморф колец

Теорема об образе и ядре

Imφ-подкольцо в К’.Если К-кольцо с 1, то и φ(1)-явл 1 в Imφ. Ker φ- идеал в К

Эл-ты а и в кольца К наз делителями нуля если а≠0,в≠0,но ав=0

Коммутат кольцо с 1 ≠0 и без делителей 0 наз целостным

Закон сокращения Коммутат кольцо с 1≠0 явл целостным тттк в нем выполнен закон сокращ (ав=ас,а≠0)→в=с (а,в,с∈К)

Теоремы об обратимых эл-тах кольца

Обратимый эл-т кольца с 1≠0 не явл делителем 0

Все обратимые эл-ты кольца К с 1≠0 образ группу по умнож

Полем наз коммутат кольцо с 1≠0 в кот всякий эл-т а≠0 обратим

Услов при кот кольцо явл полем

Коммутат кольцо с 1≠0явл полем тттк оно не содерж нетривиал идеалов

Теорема о факторкольце по макс идеалу

Пусть К коммут кольцо с 1≠0 и L-макс идеал в К.Тогда факторкольцо K/L явл полем

Теорема о кольце Zm Кольцо Zm явл полем тттк m-простое число

Подполем поля Р наз всякое подкольцо поля Р,кот само явл полем

Если F подполе поля Р, то Р наз расширением поля F

Пусть Р-поле, F-подполе поля Р и а∈P∖F.Тогда наимен подполем поля Р содерж F и а явл расширением поля F , кот наз полученным присоединением F эл-та а и обозн F(а)

Поле Р наз простым если оно не содерж никакого собстен подполя

Теорема о простом поле Всякое поле содержит простое подполе и притом ровно одно

Теорема о простых полях Простыми полями явл Q и Zp(р-простое число)

Похожие материалы

Информация о работе