Оценивание числовых характеристик и параметров распределения случайных объектов (Раздел 5 учебного пособия "Статистические методы обработки экспериментальных данных"), страница 10

5.4.1. Нестационарные случайные функции

Реализации x_i(t),  случайной функции  представляют собой неслучайные функции, значения которых x_i(t_j) в фиксированных точках t_j,  j = 1,2,… являются реализациями x_ij случайных величин .

Пусть над случайной функцией  произведено n независимых равноточных наблюдений (опытов), в результате которых получено n её реализаций  x_i(t),  (рис.5.3).

Рис.5.3. Реализации случайной функции

Требуется найти оценки числовых характеристик случайной функции: математического ожидания , дисперсии  и корреляционной функции , удовлетворяющие требованиям состоятельности, несмещённости и эффективности (асимптотической эффективности).

В ряде сечений случайной функции, соответствующих моментам времени t₁, t₂,…, t_j,…,t_m, фиксируются значения, принятые реализациями x_i(t) функции  в эти моменты. Поскольку наблюдалось n реализаций, то каждому из моментов t_j,  будут соответствовать n значений, принятых случайной величиной . Указанная случайная величина является j-м сечением случайной функции .  Расстояния

                                                   h = h_j = t_j+1 – t_j

между фиксируемыми сечениями  случайной функции  обычно берутся одинаковыми и назначаются так, чтобы последовательность x_i(t_j),  позволяла восстановить основной характер зависимости x_i(t).  Нередко в основу выбора кладётся теорема В.А. Котельникова, согласно которой для точного восстановления непрерывной функции достаточно её наблюдать в равноотстоящих дискретных точках с частотой, в два раза превышающей максимум её частотного спектра [2,13]. Бывает, что приведённые соображения являются излишними и расстояние задаётся темпом работы регистрирующей аппаратуры.

Для удобства последующей статистической обработки зарегистрированные данные сводятся в таблицу, строки которой соответствуют реализациям, а столбцы – сечениям случайной функции (табл.5.6).

Таблица 5.6

Зарегистрированные значения случайной функции

xi(t)	t
	t1	t2	×××	tj	×××	tl	×××	tm
x1(t)	x1(t1)	x1(t2)	×××	x1(tj)	×××	x1(tl)	×××	x1(tm)
x2(t)	x2(t1)	x2(t2)	×××	x2(tj)	×××	x2(lj)	×××	x2(tm)
×××	×××	×××	×××	×××	×××	×××	×××	×××
xi(t)	xi(t1)	xi(t2)	×××	xi(tj)	×××	xi(tl)	×××	xi(tm)
×××	×××	×××	×××	×××	×××	×××	×××	×××
xn(t)	xn(t1)	xn(t2)	×××	xn(tj)	×××	xn(tl)	×××	xn(tm)

Приведённая в табл.5.6 совокупность значений случайной функции  представляет собой результаты n наблюдений m-мерного случайного вектора

                                      

и обрабатывается по методике § 5.3.

Так, оценки математических ожиданий сечений  случайной функции  находятся по формулам

                              ,  . (5.4.1)

Соединяя точки  отрезками прямых, можно построить приближённый график (рис.5.3) оценки  математического ожидания  случайной функции . Очевидно, что возможны и другие виды интерполяции, например, квадратичная.

Несмещенные оценки дисперсий и корреляционных моментов сечений определяются соответственно следующими соотношениями:

,  .                                                         (5.4.2)

,  .                                                         (5.4.3)

Легко заметить, что формула (5.4.2) может быть получена и из выражения (5.4.3) при  l = j,  поскольку .

В вычислительном отношении более удобны формулы, основанные на связи начальных и центральных моментов, т.е.

,   .                                                         (5.4.4)

,  .                                                         (5.4.5)