Электростатическое поле при наличии проводников, страница 4

              Доказанная теорема единственности является основанием для решения задачи отыскания электростатических полей, создаваемых заданным статическим распределением зарядов и проводящих тел, при помощи описанного метода изображений. В случае проводников конфигурацию зарядов - изображений следует подбирать таким образом, чтобы в любой точке границы проводящих объемом выполнялось любое из условий (3.2) или (3.4). При этом, в соответствии с доказанной теоремой поле в свободном от проводников пространстве, может быть найдено единственным образом, т.е. совпадает с реально существующим.

              Процедура поиска распределений зарядов - изображений в значительной степени основана на интуиции и догадке. Определенную помощь в угадывании верного решения может оказать использование соображений симметрии: распределение зарядов - изображений не должно ухудшать симметрии заданных в условии задачи конфигураций свободных зарядов и проводников. Следует также учитывать, что единственность решения задач методом изображений не гарантирует его существования.

Пример 3.4.    Точечный заряд вблизи заземленной сферы.

Найти положение и величину заряда - изображения, решающего задачу об отыскании электростатического поля, создаваемого системой из точечного заряда и заземленной металлической сферы.

Решение:           

Потенциал заземленного проводника считается равным нулю (подразумевается, что такой проводник присоединен к Земле - проводнику столь больших размеров, что в его объеме содержится бесконечно удаленная точка, принятая за начало отсчета потенциала). Из соображений симметрии ясно, что точечный заряд - изображение (если он существует) должен лежать на прямой, соединяющий свободный заряд с центром проводящей сферы (рис. 3.1).

              Величину заряда - изображения следует подбирать таким образом, чтобы создаваемый им совместно со свободным зарядом q₀ потенциал в произвольной точке поверхности сферы равнялся нулю (3.16). Условие (3.16) с  учетом теоремы косинусов преобразуется к уравнению (3.17), которое должно выполняться для произвольной точки поверхности сферы, т.е. при любых значениях угла a.. Поскольку при движении по поверхности сферы величина a изменяется, последнее равенство может выполняться лишь при условии равенства нулю суммы коэффициентов при cosa  и суммы свободных слагаемых (3.18).

              Полученная система уравнений (3.18) имеет два решения, одно из которых соответствует заряду - изображению, соответствующему нулевому полю внутри сферы, а второе - полю снаружи. Поскольку величина заряда изображения оказалась меньше, чем q₀, , не все исходящие от свободного заряда силовые линии оканчиваются на поверхности сферы: часть уходит на бесконечность.

3.5.   Сила, действующая на поверхность заряженного

проводника.