Электростатика проводников. Основные закономерности электростатических полей, страница 6

       Задача типа Б). На изолированном шаре помещен заряд .

       Рассмотрим сначала случай задания на поверхности шара граничного условия  и найдем положение и величину мнимого заряда (изображения) , при котором обеспечивалось бы выполнение этого граничного условия в отсутствие проводящего шара. Сначала выберем точку  на поверхности шара . Расстояние от зарядов  и  до поверхности шара обозначим через  и . На этой поверхности должно выполняться условие :

                               ,            ,

из которого следуют соотношения

                               ,                                      (5.9)

Здесь  - диэлектрическая проницаемость среды вне шара,  - расстояния зарядов  до точек на поверхности , смысл обозначений  понятен из Рис.5.5. Из формулы (5.9) видно, что знак изображения («зеркального») заряда противоположен знаку  и величина отношения  не зависит от положения точки на поверхности шара. Заряд  должен находиться внутри шара на линии, соединяющей центр шара с зарядом . Найдем теперь положение заряда .  С этой целью выберем положение точки , как показано на Рис. 5.6. Тогда для точки  имеем: ,         ,           

Для точки  имеем ,                  ,                 .

Так как потенциал в точках  и  одинаков (в данной задаче он равен нулю), то

приравнивая полученные для точек  и  отношения , получим положение заряда – изображения  и величину . Величина заряда  представляется в виде

                                                .

Найденный фиктивный заряд  в совокупности с зарядом  обеспечивает выполнение граничного условия . Следовательно, в произвольной точке потенциал имеет представление

                                    ,

которое дает решение рассматриваемой задачи, смысл расстояний  ясен из Рис. 5.5.

            Если на поверхности сферы  задано условие , то для выполнения этого условия в центр шара необходимо поместить  дополнительный фиктивный точечный заряд . Решение такой задачи выразится суммой потенциалов от трех точечных зарядов (одного реального и двух фиктивных)

                                    .

            Задача типа Б). На проводящем шаре задан полный заряд . Сначала исследуем случай разряженного шара:  на поверхности шара. Решение такой задачи сконструируем из решения для случая . Чтобы удовлетворить условию , добавим к заряду  еще один фиктивный заряд , поместив его в центр шара. При этом полный заряд на поверхности шара равен нулю. Тогда решение для потенциала вне шара примет вид

                                    .

            Если на поверхности шара задан полный заряд , то тогда в центр шара поместим фиктивный заряд , это обеспечит выполнение условия . Решение этой задачи имеет вид

                                    .

            Отметим в заключение, что метод изображений имеет ограниченную область применения, так как в случае сложных форм проводников нахождение изображения зарядов оказывается весьма трудной задачей. Но при простых границах проводников этот метод позволяет быстро получать решения, имеющие к тому же простой физический смысл.

Метод инверсии. Это простой метод, который позволяет по известному решению одной электростатической задачи находить решение другой задачи. Основанием этого метода является инвариантность уравнения Лапласа к определенному преобразованию переменных (преобразование инверсии). Например, в сферических координатах уравнение Лапласа имеет вид

                                    ,

где  - угловая часть оператора Лапласа. Это уравнение сохраняет свою форму, если вместо переменной  ввести новую переменную , такую, что имеет место пропорциональность :

                                                ,          ,

где  - радиус инверсии

Одновременно делается заменуа неизвестной функции

                                                .

Такое преобразование меняет фигуры всех протяженных проводников и их взаимное расположение. Меняются величины и расположение всех точечных зарядов. Граничное условие  на поверхности проводника автоматически выполняется  новым решением . Таким образом, по известному решению  находится еще новое решение

                                                .