Электромагнитное поле равномерно движущегося заряда, страница 5

              Магнитное поле системы равномерно движущихся зарядов  может быть вычислено путем непосредственного суммирования вкладов от каждого из них (8.19). Аналогично тому, как это делалось в электростатике, случае больших (макроскопических) групп зарядов, движущихся с одинаковой скоростью, целесообразно ввести макроскопические усредненное магнитное поле, источником которого следует считать макроскопические токи (8.20). На практике часто встречаются случаи, когда создающие магнитное поле токи не «размазаны по пространству», а протекают по сравнительно тонким проводам. В этой ситуации вклад в полное магнитное поле каждого из участка провода с током может быть вычислен по закону Био-Савара-Лапласа (8.21).

(8.19)

Магнитное поле, создаваемое системой движущихся точечных зарядов.

(8.20)

Магнитное поле, создаваемое объемным распределением токов в пространстве.

(8.21)

Закон Био-Савара-Лапласа (dl – элемент длины провода, направленный в направлении течения тока)

Задачи для самостоятельного решения

8.1.  Используя теорему Гаусса для электрического поля, создаваемого движущимися зарядами, показать, что электрическое поле бесконечной  равномерно заряженной плоскости, равномерно движущейся вдоль собственной нормали, совпадает с полем покоящейся плоскости. Указание: в классической электродинамике традиционно принимается допущение об отсутствии постоянного во времени и однородного во всем пространстве поля.

8.2.     Рассчитать силу, действующую с точки зрения неподвижного наблюдателя на заряд, равномерно движущийся с заданной скоростью в известном электрическом поле, создаваемом неподвижными относительно наблюдателя зарядами. Указание: перейти в систему отсчета, связанную с движущимся зарядом, рассчитать действующую силу в этой системе, вернуться в исходную систему отсчета.

8.3.     Батарея с заданной ЭДС и внутренним сопротивлением при помощи двух очень длинных параллельно расположенных проводников цилиндрической формы подсоединена к сопротивлению. Какова величина этого сопротивления, если известно, что суммарная сила взаимодействия проводников друг с другом равна нулю. Сопротивление проводников очень мало. Их диаметры d значительно меньше расстояния L между их осями.

8.4.     Показать, что в случае движения зарядов в одном направлении с одинаковыми и малыми по сравнению со скоростью света скоростями полученное из релятивистского рассмотрения выражение для  силы их магнитного взаимодействия совпадает с результатами расчетов по формулами классической электродинамики (8.13) и (8.14).

8.5. Получить выражение для магнитостатического поля, создаваемого произвольным распределением электрических зарядов, движущихся с одинаковыми скоростями vi=V, если известно электрическое поле Е, создаваемое точно таким же статическим распределением.

8.6. Пользуясь результатом решения задачи 8.5., рассчитать магнитное поле, создаваемое прямым бесконечным проводом с током I на заданном расстоянии h от него.

8.7. Точечный заряд q движется со скоростью v вдоль прямого провода с током I на расстоянии L от него. Найти магнитную силу, действующую на этот заряд. Решить ту же задачу с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с зарядом. Указание: при переходе в движущуюся вместе с зарядом систему отсчета изменяются расстояния между электронами и ионами провода с током. В результате создаваемые ими электрические поля перестают компенсировать друг друга. Рассматриваемый заряд вместо магнитной силы будет испытывать действие силы электрической.

8.8. Исходя из выражения для магнитного поля равномерно движущегося точечного заряда и принципа суперпозиции, получить выражение для сглаженного макроскопического магнитного поля B(R), создаваемого заданным распределением плотности тока в пространстве j(r).

8.9. Используя решение задачи 8.8., получить выражение для магнитного поля, создаваемого в произвольной точке пространства R небольшим участком тонкого провода с заданным током I (закон Био-Савара-Лапласа), расположенного в точке r.

Соотношения, которые полезно помнить

,

Инвариантность электрического заряда.

Релятивистский закон преобразования электрических полей при переходе в движущуюся систему отсчета

Магнитное поле точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью.

Сила, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле.