Электродинамика в релятивистских обозначениях, страница 3

Пример 15.2.     Закон сохранения электрического заряда

Определить четырехвектор плотности тока и записать закон сохранения электрического заряда в виде четырехдивергенции введенного четырехвектора.

Решение:     

Введем четырехвектор плотности тока как произведение "собственной плотности" электрического заряда (т.е. плотности, рассчитываемой в системе отсчета, где этот заряд покоится) (15.16). При таком определении три пространственные компоненты четырехвектора плотности тока совпадают (в силу релятивистского преобразования объема и инвариантности электрического заряда) с компонентами  ранее определенной  (7.1) плотности тока (15.17).

Ранее рассмотренная дифференциальная форма уравнения для закона сохранения электрического заряда (7.4)  с учетом определений четырехвектора плотности тока и четырехкомпонентного оператора Ñ  приобретает весьма простой и краткий вид  (15.18).

15.3.   Неоднородное уравнение Д'Аламбера

              Для придания системе уравнений Максвелла для вакуума более явной релятивистски инвариантной формы необходимо осуществить переход от описания поля при помощи векторов Е и В к описания с помощью потенциалов. Как отмечалось ранее (раздел 1 лекции 9), равенство нулю дивергенции магнитного поля позволяет определить с точностью до градиентного преобразования векторный потенциал, векторное поле, ротор которого восстанавливает вектор магнитной индукции В (15.19). Переход к записи магнитных полей при помощи векторного потенциала позволяет придать выражающему закон электромагнитной индукции Фарадея уравнению вид равенства нулю ротора некоторого векторного поля, а само это поле выразить через градиент скалярного потенциала (15.20).

              Подстановка введенных векторного и скалярного потенциалов в уравнение для ротора магнитного поля приводит к выражению (15.21), которое сильно упрощается в случае выбора  потенциалов в калибровке Лоренца, т.е. удовлетворяющих  уравнению (15.21). При этом векторный потенциал удовлетворяет неоднородному уравнению Д'Аламбера (15.22), правая часть которого содержит плотность тока. Легко заметить, что полученное уравнение является обобщением рассмотренного в магнитостатике уравнения Пуассона для векторного потенциала (9.7). Аналогичное неоднородное уравнение для скалярного потенциала (15.24) может быть получено из содержащего плотность электрических зарядов уравнения Максвелла.

              Полученные уравнения для векторного и скалярного потенциалов могут быть объединены в одно четырехкомпонентное уравнение (15.25), в левой части которого возникает четырехвектор плотности тока (15.16). Стоящий в правой части оператор Д'Аламбера может рассматриваться как скалярное произведение на себя четырехкомпонетного оператора дифференцирования Ñ и, следовательно, представляет собой релятивистски инвариантный оператор (15.26). Из сделанных утверждений следует, что стоящая в левой части четырехмерного уравнения (15.25) совокупность из скалярного потенциала и трех компонент векторного представляет собой четырехвектор (15.27), который логично назвать четырехпотециалом.

              Введенные четырехмерные обозначения позволяют записать все уравнения электродинамики в весьма краткой и элегантной форме, явным образом демонстрирующей релятивистскую инвариантность этих уравнений (15.28).