Специальная теория относительности. Преобразования Лоренца. Промежуток времени между событиями. Длина отрезка. Лоренцово сокращение. Четырехмерное пространство Минковского. Интервал. Собственное время. Сложение скоростей, страница 9

                                                ,                                  (12.23)

где  - матрица преобразования Лоренца. Преобразование (12.23) получается как преобразование произведения двух 4 – векторов  и

                                    ,              .

            В качестве примера применим (12.23) для вывода преобразования  компоненты поля . Формула преобразования имеет вид

                                                .

Учитывая, что , получим . Поэтому

                                    ,

где . Приходим к формуле преобразования

                                                .

Аналогично получаются формулы преобразования для других компонент поля. Формулы преобразования удобно записывать в векторной форме, для этого поля разобьем на составляющие, параллельные и перпендикулярные направлению движения системы

                        ,     ,     ,             .

Учитывая, что , получаются формулы

                        ,                   ,

                        ,                   .

Формулы обратного преобразования получаются заменой величин со штрихом на соответствующую величину без штриха и наоборот, а так же изменением знака у .

            Рассмотрим две предельные ситуации.

1.). В системе  отсутствует магнитное поле . В системе  будет и электрическое поле и магнитное:

,

.

Последнее равенство показывает, что поля  и  ортогональны. Следует отметить, что эту ортогональность можно обнаружить не делая преобразований. В самом деле, скалярное произведение  является инвариантом, а в рассматриваемом примере  и значит , т.е.  и  - ортогональны.

2.). В системе  отсутствует электрическое поле . В системе  будет и электрическое поле и магнитное, можно сразу отметить, что :они будут ортогональны

.

С учетом последнего соотношения можно переписать выражение для поля  в виде

                                    , где учтено, что .

12.10. Релятивистская 4 – сила Лоренца. Плотность трехмерной силы Лоренца (сила, действующая на заряды в единичном объеме среды) определяется формулой

                                                ,

где  - скорость заряженной среды и плотность зарядов.

Обобщение на четырехмерный случай делается следующим образом. Ранее введены понятия: 4 – вектор тока  и тензора электромагнитного поля

Введем в рассмотрение 4 – вектор

                                                .

Выпишем компоненты этого 4 – вектора (он называется плотностью силы Лоренца)

,

где учтено соотношение .

Аналогично находятся остальные три компоненты

,

,

.

Первые три компоненты совпадают с соответствующими компонентами трехмерной плотности силы Лоренца. Сделаем преобразование:

                        ,

поэтому можно  (это сила Минковского) представить в виде

                                                .

            В частном случае сопутствующей системы отсчета  заряды неподвижны и в системе  будем иметь :

            .

Введенная 4 – плотность силы Лоренца позволяет написать четырехмерное релятивистское уравнение движения заряженной среды

                                                            ,

где  - собственное время,  - 4 – импульс.

12.11. Тензорная форма уравнений Максвелла. Уравнения Максвелла в трехмерной формулировке возьмем в виде

                                                ,                               (12.24)

                                                ,                          (12.25)

Для записи уравнений (12.24) в тензорной форме, вместо тензора электромагнитного поля  удобнее использовать дуальный тензор , который отличается от  заменой компонент  на

                                    .

В результате система (12.24) приводится к тензорной форме

                                                .

Принимая во внимание вид тензора индукции  (12.22.А) , система (12.25) приводится к тензорной форме

                                                .