Симметрия и структура кристалла. Обратная решетка. Силы взаимодействия в кристаллах

N_A=6,0·10²³ моль^–1

E=1,6·10^–19 Кл = 4,8·10^–10 CGSE

m_e=9,1·10^–27 gr

ħ=1,05·10^–34 Дж·сек =0,66 ·10^–15 эВ ;h=6,6·10^–27 эрг·сек .

1 а.е.м.= 1,66 10^–24 gr ≈ m_p =1836 ·m_e = 1836·9,1·10^–27 gr.

1 эВ = 9,1·10^–12 эрг

k = 1,38·10^–16 эрг/К

Симметрия и структура кристалла.

3. Зная плотность ρ=8,9 g/cm³  меди, вычислить постоянную a ее гранецентрированной кубичской решетки.  a=(2m/N_A ρ)^1/3=3,6 Å

4. ρ = 4(M_Na+M_Cl)/N_A a³=2,18 g/cm³.

5. Зная постоянную a кристаллической решетки, вычислить расстояния d₁₀₀, d₁₁₀  и  d₁₁₁  для кубической решетки а) простой, б) объемоцентрированной, в) гранецентрированной. a) a, a/√2, a/√3; б)  a/2, a/√3, a/√12; в) a/2, a/√8, a/√3;

6. Постоянная кубической гранецентрированной решетки меди равна 3,61 Å. Написать миллеровские индексы системы плоскостей, плотность расположения атомов в которых максимальна. Вычислить эту плотность (атом/Ų). (111); 1,77 10¹⁶ atom/cm²

5. Вычислить расстояние d_hkl между плоскостями с индексами Миллера h, k, l в простой, объемоцентрированной и гранецентрированной кубической  решетке с постоянной a=5Å.  a(h²+k²+l²)^1/2; a/2(h²+k²+l²)^1/2; a/3(h²+k²+l²)^1/2;

6.  Кристаллы каких сингоний являются оптически двуосными, одноосными и изотропными?

5.  В произвольных ортогональных осях тензоры диэлектрической проницаемости ε имеет вид:

  

К каким кристаллографическим системам могут принадлежать эти кристаллы.

1–2,2,2 – куб; 2–2,4,4 – триг., тетра., гексаг.; 3 – 2,4,3 – ромб., монокл., трикл.; 4 –5,2,2 триг., тетра., гексаг.

6.  Сколько атомов содержится в примитивной ячейке алмаза (гранецентрированная кубическая решетка – ГЦК, a=3,567Å)? 2.  Какова длина вектора примитивной трансляции? a√2/2=2,60Å.

7.   Ковалентный радиус атома углерода приблизительно равен 0.77Å (1,27). Каков размер ГЦК решетки алмаза в предположении, что атомы касаются друг друга?  3,567Å.

8.  Ионные радиусы атомов Na и Cl  равны соответственно 0.98 и 1.81Å (1,27). Каков размер ГЦК решетки NaCl  в предположении, что атомы касаются друг друга?  5,63Å.

9.  Доказать, что угол между тетраэдрическими связями в решетке алмаза (ГЦК)  равен 109^о28′.

10.  Сколько атомов содержится в гранецентрированной кубической элементарной ячейке? Сколько  атомов содержится в гранецентрированной кубической примитивной ячейке?  

11.  Структура хлористого цезия – объемоцентрированная кубическая решетка (ОЦК). Указать число ближайших ионов к данному, число ионов, следующих за ближайшими, и число ионов следующего «третьего» слоя. Определить их координаты, относительно первоначального иона с координатами (000).

12.  Показать, что в кристалле не может существовать поворотная  ось симметрии пятого порядка.

13.  Чему равна относительная доля объема, занимаемого атомами (твердыми шарами) для простой кубической, объемоцентрированной кубической (ГЦК) и гранецентрированной кубической (ГЦК) решеток.    0.52; 0.68; 0.74048.

Силы взаимодействия в кристаллах.

1. Оценить температуру плавления кристалла неона Ne, который кристаллизуется в гранецентрированную кубическую решетку  с постоянной a=3,8 Å. Постоянная диполь-дипольного взаимодействия C=4,67·10^–60 эрг·см⁶
2. Вычислить энергию связи атомов водорода в молекуле водорода
3. Вычислить постоянную Маделунга кристалла NaCl методом Эвьена с учетом взвимодействия ионов только в одной элементарной ячейке.  1,457
4. Изобразить элементарную и примитивную ячейку гранецентрированной кубической решетки. Вычислить во сколько раз объем элементарной ячейки больше, чем примитивной.  
5.  Что является доказательством существования водородных связей в кристалле льда?
6. Вычислить постоянную Маделунга  методом Эвьена для плоской квадратной решетки с положительными и отрицательными ионами с зарядом q. 1,2929.
7. Вычислить постоянную Маделунга объемной кубической решетки, учитавая   одну, восемь и двадцать семь ячеек Эвьена.     1,465; 1,752; 1747; и точно 1,7475.
8. Постоянная Маделенга ГКЦ решетки равна –1,7475. Какова кулоновская энергия связи ионов в кристалле NaCl с постоянной a=5,94 Å?      7,9 эВ.
9. Потенциал июнизации атома Na равен 5,1 эВ, а энергия сродства к электрону у атома Cl   равна –3,6 эВ. Вычислить энергию связи кристалла NaCl, если ионный радиус  Na равен 0,95 Å, а  Cl – 1,91 Å.    7,9эВ.
10. Найти гибридные волновые функции, образованные из нормированных атомных волновых функций  s, p_x, p_y, p_z типа, образующие четыре тетраэдрические связи.

Обратная решетка.

1. В орторомбической решетке имеется три примитивных вектора трансляции a=5Å, b=3Å, c=6Å. Определить размеры и форму первой зоны Бриллюэна.
2. Доказать, что в кристалле любой сингонии вектор обратной решетки K_hkl  перпендикудярен плоскости с индексами (hkl) в прямой.
3. Доказать, что в кристалле любой сингонии направление [hkl] в обратной решетке перпендикудярно плоскости с индексами Миллера (hkl) в прямой.
4.  Вычислить объем первой зоны Бриллюэна для гранецентрированной кубической  (ГЦК) решетки с постояннойa=5Å.
5. Вычислить объем первой зоны Бриллюэна для объемоцентрированной кубической  (ОЦК) решетки с постояннойa=5Å.
6. Построить зону Бриллюэна для плоской решетки, элементарная ячейка которой представляет собой параллерограмм с постоянными a≠b.
7. Построить четвертую зону Бриллюэна для плоской квадратной решетки.
8. Показать, что обратной орторомбической базоцентрированной решетке соответствует другая орторомбическая базоцентрированная решетка.
9. Показать, что обратной ромбоэдрической решетке соответствует другая ромбоэдрическая решетка.
10. Атомы, расположенные в одной плоскости, образуют прямоугольную плоскую роешетку с постоянными    a=5Å и b=2Å . На решетку перпендикулярно падает рентгеновское излучение с λ=1.52Å. Как выглядит дифракционная картина на фотопластинке, помещенной за атомной плоскостью?

11. Вычислить структурный фактор для гранецентрированной кубической  (ГЦК) решеки.

12. Вычислить структурный фактор для объемоцентрированной кубической  (ОЦК) решеки.

11. Вычислить относительную интенсивность первых трех рефлексов Лауэ для простой кубической решетки, если электронная плотность объемного кристалла задана функцией f(x)=sinπx/a_x· sinπy/a_x· sinπz/a_z.
12. Кристаллическая структура алмаза – две гранецентрированные кубические решетки, вставленные друг в друга со сдвигом на ¼ пространственной диагонали куба, т.е. базис состоит из двух атомов. Найти структурный фактор этого базиса. h+ k+ l=4n.